¿Por qué las perturbaciones gravitatorias son más fuertes en los semiejes mayores más grandes?

"¿Por qué el secundario siente más perturbaciones por la influencia gravitatoria del sol cuanto más lejos está del primario?"

En resumen, se debe a que la aceleración perturbadora neta en el secundario es solo la diferencia (vectorial) entre (a) la atracción acelerante hacia el cuerpo perturbador experimentada por el secundario, y (b) la atracción acelerativa hacia el cuerpo perturbador experimentada por el primario.

Por lo tanto, cuanto más cerca está el secundario del primario, más iguales en tamaño y dirección son esas dos atracciones hacia el perturbador, y más cerca de cero es su diferencia de vectores. Otro resultado es que cuanto más similares son los cambios de velocidad en tamaño y dirección producidos por las aceleraciones perturbadoras en el primario y el secundario, y más cercana a cero es la perturbación resultante en sus movimientos relativos entre sí.

Esto se sabe desde hace mucho tiempo como consecuencia del sexto corolario de Newton a las leyes del movimiento: "Si los cuerpos, de alguna manera movidos entre sí, son empujados en la dirección de líneas paralelas por fuerzas de aceleración iguales, todos continuarán moviéndose entre sí". mismos de la misma manera como si no hubieran sido impulsados ​​por tales fuerzas".

Debido a que puede haber una inmensa variedad en las posibles trayectorias del primario y el secundario además de las perturbaciones, cualquier ilustración detallada puede desarrollar rápidamente expresiones trigonométricas masivas e intrincadas.

Pero en todos los casos, incluido el del efecto Kozai-Lidov, la escala del efecto, por intrincada que sea su forma, depende del tamaño de las aceleraciones perturbadoras netas.

Una configuración muy simplificada puede al menos mostrar con un ejemplo cómo una fuerza perturbadora neta, que afecta el movimiento relativo del primario y el secundario, es casi directamente proporcional a la primera potencia de la distancia entre el primario y el secundario, aunque también depende, por supuesto, de más factores debido a cambios en la configuración angular.

El siguiente diagrama indica algunas configuraciones muy simplificadas.

Supongamos primero que el primario (E) y el secundario (M) están por un instante en línea con el cuerpo perturbador (S), con M en M1 entre E y S. Sea s la distancia ES y d la distancia EM (con d << s). Suponga también que la masa de E y M son despreciablemente pequeñas en relación con la masa de S (aunque no despreciables entre sí).

Con estas aproximaciones, las atracciones de aceleración de S sobre M y S sobre E son respectivamente$k/(s-d)^2$y$k/s^2 ,$y la aceleración perturbadora neta en M es la diferencia$( k/(s-d)^2 - k/s^2 ) .$

Poniendo$s(1-d/s)$para (sd), y usando la expansión binomial de$1/(1-d/s)^2$, se ve que los términos en$k/s^2$cancelar, dejando la fuerza perturbadora neta como$k/s^2 * (2d/s)$, más términos en potencias superiores de d/s, es decir, en$k d^2/s^4$y así.

Donde d es mucho más pequeño que s, los términos de mayor potencia en d/s pueden despreciarse, y entonces la aceleración perturbadora neta en M en M1 en la configuración del ejemplo elegido se aproxima muy de cerca por$+2 k d / s^3$, lejos de E y hacia S.

Si, en cambio, la configuración tiene M en M2 de modo que E esté en línea entre M y S, entonces la aceleración perturbadora neta en M claramente se convierte en$~ -2 k d / s^3$, es decir, lejos de E y lejos de S.

Si, en cambio, M está en M3, con la línea EM3 en ángulo recto con ES, y si también el ángulo ESM3 puede tratarse como lo suficientemente pequeño como para que su coseno pueda aproximarse a 1 y su seno a d/s, entonces es fácil encontró que la aceleración perturbadora neta en M en M3 es aproximadamente$k d/s^3$hacia E, nuevamente despreciando potencias superiores de d/s.

Si M está en una posición intermedia M4 y D representa el ángulo ESM4, se puede ver usando un poco más de trigonometría que la aceleración perturbadora neta en M en M4, bajo las suposiciones ya hechas, tiene una componente paralela a la línea ES de aproximadamente$+2 k d cos D / s^3$, y una componente perpendicular a la línea ES (siempre actuando hacia la línea ES) de aproximadamente$k d sin D / s^3$.

Todas las componentes son proporcionales a la separación EM d, en la medida en que la serie de términos omitidos en potencias superiores de d/s puede ser tratada como despreciable como se ha hecho aquí.