¿Por qué las ondas sonoras son adiabáticas?

Para empezar, para citar a Allan Pierce en Acoustics ,

La explicación que se da a menudo, de que las oscilaciones en una onda de sonido son demasiado rápidas para permitir una conducción apreciable de calor, es incorrecta.

Ese me sorprendió cuando lo aprendí yo mismo.

De hecho, el sonido no es un proceso adiabático para todas las frecuencias. Para cualquier medio existe una frecuencia de conducción térmica,

$$f_{\mathrm{TC}} =\frac{\rho c_{p} c^{2}}{2 \pi \kappa}.$$ Las frecuencias mucho más bajas que este valor se aproximarán bien como adiabáticas. Sin embargo, aumentar la frecuencia a través y por encima de este punto hará que el proceso pase de adiabático a isotérmico. Para el aire, esta frecuencia es $\sim 10^{9} \, \mathrm{Hz}$, muy por encima del rango del oído humano, por lo que casi siempre tratamos el sonido como adiabático.

La razón física por la que esto ocurre es que la transferencia de calor por conducción es proporcional al gradiente de temperatura . Esta es solo una declaración de la ley de Fourier para la conducción del calor. Considere lo que sucede cuando la frecuencia de una onda armónica disminuye: la longitud de onda aumenta y la pendiente de la forma de onda oscilante disminuye a medida que se "estira". Suponiendo amplitudes iguales, las ondas de frecuencia más baja establecerán gradientes de temperatura más pequeños, lo que conducirá el calor con menos eficacia. Si la conducción de calor es insignificante, entonces el proceso conserva la entropía.

Entonces, en resumen, los gradientes térmicos establecidos por las ondas sonoras para las frecuencias típicas de interés son lo suficientemente pequeños como para despreciarlos, por lo que el sonido es (casi) un proceso adiabático. Sin embargo, como Thomas señaló a continuación, en realidad, las frecuencias que cruzan al régimen potencialmente isotérmico casi siempre se ven afectadas primero por la atenuación, y los efectos principales de la conducción y la viscosidad son en realidad amortiguar la onda de sonido.

En caso de que decidas que quieres ver algo de matemáticas, la ecuación de energía es

$$\rho T \frac{d s}{d t} = \kappa \nabla^{2} T.$$ Los argumentos anteriores se pueden ver matemáticamente linealizando sobre un estado base inactivo y asumiendo soluciones de onda armónica para $s$y $T$. La ecuación se puede reescribir como $$- i \omega \rho_{0} T_{0} \hat{s} = - \kappa \frac{\omega^{2}}{c^{2}} \hat{T},$$ $$\hat{s} = - i \frac{\kappa \omega}{\rho_{0} T_{0} c^{2}} \hat{T}.$$ Como la frecuencia angular $\omega = 2 \pi f \rightarrow 0,$también debe hacerlo la amplitud de la oscilación de entropía, $\hat{s}$. Al igual que con la cita al principio, gran parte de mi respuesta se basa en Acústica de Allan Pierce.

Al nivel de la ecuación de Euler no hay flujo de calor entre elementos fluidos adyacentes (la conductividad térmica es cero). Porque$dQ=TdS$esto implica que la entropía en un elemento fluido que se mueve conjuntamente se conserva (los elementos fluidos pueden hacer$pdV$trabajar unos sobre otros). en ecuaciones

$$D(s/n) = \left( \partial_0+\vec{u}\cdot\vec\nabla\right) (s/n)=0,$$ dónde $s$es la densidad de entropía y $n$es la densidad de partículas. Tenga en cuenta que $s/n$es la entropía por partícula. Usando la ecuación de continuidad esto también implica $$\partial_0 s+\vec\nabla(s \vec{u})=0$$ que suele llamarse la ecuación de conservación de la entropía. Esto implica que debemos relacionar el cambio de presión $\delta P$y el cambio de densidad $\delta\rho$con $\rho=mn$en una onda de sonido utilizando la compresibilidad a entropía constante por partícula $$c_s^2 = \left.\frac{\partial P}{\partial\rho}\right|_{s/n=const}.$$ Ahora la única pregunta es cómo se modifica esto cuando consideramos la ecuación de Navier-Stokes. Esto incluye la fricción viscosa y el flujo de calor. Considere el tamaño relativo de la derivada del tiempo $\partial_0 u$y el término de fricción viscosa $\eta/\rho\nabla^2 u$. Para una onda plana $$\frac{\partial_0 u}{\eta/\rho\nabla^2 u}\sim \frac{\eta}{\rho}\frac{k}{c_s}$$ que puede hacerse arbitrariamente pequeño en el límite de longitud de onda larga. Lo mismo es cierto para la conducción de calor. Esto significa que la velocidad está dada aproximadamente por el resultado adiabático y que la aproximación es arbitrariamente buena como $k\to 0$.