¿Por qué la ley de inducción de Faraday y la ley de Maxwell-Ampere (sin fuentes) no son simétricas?

Question

¿Por qué la ley de inducción de Faraday y la ley de Maxwell-Ampere (sin fuentes) no son simétricas?

dualidad
Física
Unidades SI
unidades absolutas
electromagnetismo
ecuaciones de maxwell

Gaurav

Me preguntaba por qué la ley de inducción de Faraday y la ley de Maxwell-Ampere (sin fuentes) no son totalmente simétricas en el sentido de que la ley de Maxwell-Ampere tiene un $\epsilon_0 \mu_0$ término a la derecha (en unidades SI) mientras que la ley de Faraday no lo hace, ya que la simetría es una característica importante en la mayoría de las leyes físicas.

\begin{aligned} \nabla \times mi & = - \frac{\partial B}{\partial t} \\ \nabla \times B & = m_{0} ε_{0} \frac{\partial mi}{\partial t} \end{aligned}

$\begin{align} \nabla\times\mathbf E&=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t} \\ \nabla\times\mathbf B&=\color{blue}{\mu_0\varepsilon_0}\frac{\partial\mathbf E}{\partial t} \end{align}$

Un libro de referencia popular afirma que la razón es "que usamos unidades SI". ¿Alguien puede decirme cómo el uso de una unidad en particular puede afectar la simetría de las leyes físicas escritas en su forma matemática?

honeste_vivere

¿ A qué te refieres con la ley de Maxwell ? Pensé que existían las ecuaciones de Maxwell y cada una estaba asociada con alguna persona del pasado (p. ej., la ley de Ampere). ¿Te refieres a una ecuación específica de Maxwell?

Gaurav

Específicamente, la ley de inducción de Maxwell.

usuario4552

Nunca he oído el término "ley de inducción de Maxwell". ¿Te refieres a la

\partial E / \partial t

$\partial E/\partial t$ término en las ecuaciones de Maxwell?

Gaurav

Exactamente. (si 'E' significa flujo eléctrico). Edite la pregunta si cree que no está suficientemente establecida.

kyle kanos

No veo ninguna diferencia entre los dos, ambos están escritos como

\nabla \times E = - \partial B / \partial t

$\nabla\times\mathbf E=-\partial\mathbf B/\partial t$ en unidades SI y

\nabla \times E = - (1 / c) \partial B / \partial t

$\nabla\times\mathbf E=-(1/c)\partial\mathbf B/\partial t$ en unidades gaussianas.

Javier

@KyleKanos: La pregunta, por lo que sé, es por qué

\nabla \times B = ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E}{\partial t}

$\nabla \times \mathbf{B} = \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ . la respuesta es que

ϵ_{0} μ_{0} = 1 / c^{2}

$\epsilon_0 \mu_0 = 1/c^2$ , y la constante está ahí para que las unidades salgan bien.

kyle kanos

@JavierBadia: Esa es la ley de Ampere (sin el

J

$\mathbf J$ corrección, a menos que desee el término sin fuente), no la ley de Faraday. Incluso entonces, ambas formas contienen el mismo factor.

Gaurav

@JavierBadia: Interpretaste bien mi pregunta. Pero su respuesta no despejó mi duda. Para su comprensión, me gustaría formular mi pregunta de otra manera: ¿Existe una unidad universal mediante la cual todas esas ecuaciones que son físicamente simétricas también se vuelvan matemáticamente simétricas?

nikos m.

Estos parámetros pueden ser absorbidos en las ecuaciones por una mera elección de dimensiones o una redefinición de

\vec{E}

$\vec{E}$ y

\vec{B}

$\vec{B}$ (haciendo así las ecuaciones simétricas). Sin embargo, hay otra asimetría que es la más importante , la falta de monopolos magnéticos (en contraste con los monopolos eléctricos, por ejemplo, electrones)

Gaurav

@NikosM. : Pero la inexistencia de mono polos magnéticos no está probada, ¿verdad? Dado que las leyes que he enunciado se supone que son físicamente simétricas, ¿no debería ser tal la convención para elegir las unidades que se dé el beneficio de la duda a las simetrías existentes sobre aquellas cuya existencia no está probada? (como la existencia de monopolos magnéticos).

nikos m.

@Simha, seguro que diría que la existencia de monopolos magnéticos aún no está probada :)

Gaurav

Precisamente. Ja !

EigenDavid

Si usa H en lugar de B, se restaura cierta simetría:

\nabla \times E = - μ_{0} \partial_{t} H

$\nabla\times E=-\mu_0\partial_t H$ y

\nabla \times H = ϵ_{0} \partial_{t} E

$\nabla\times H=\epsilon_0\partial_t E$ .

Respuestas (3)

¿Por qué la ley de inducción de Faraday y la ley de Maxwell-Ampere (sin fuentes) no son simétricas?

¿ A qué te refieres con la ley de Maxwell ? Pensé que existían las ecuaciones de Maxwell y cada una estaba asociada con alguna persona del pasado (p. ej., la ley de Ampere). ¿Te refieres a una ecuación específica de Maxwell?
Nunca he oído el término "ley de inducción de Maxwell". ¿Te refieres a la $\partial E/\partial t$ término en las ecuaciones de Maxwell?
Exactamente. (si 'E' significa flujo eléctrico). Edite la pregunta si cree que no está suficientemente establecida.
No veo ninguna diferencia entre los dos, ambos están escritos como $\nabla\times\mathbf E=-\partial\mathbf B/\partial t$ en unidades SI y $\nabla\times\mathbf E=-(1/c)\partial\mathbf B/\partial t$ en unidades gaussianas.
@KyleKanos: La pregunta, por lo que sé, es por qué $\nabla \times \mathbf{B} = \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ . la respuesta es que $\epsilon_0 \mu_0 = 1/c^2$ , y la constante está ahí para que las unidades salgan bien.
@JavierBadia: Esa es la ley de Ampere (sin el $\mathbf J$ corrección, a menos que desee el término sin fuente), no la ley de Faraday. Incluso entonces, ambas formas contienen el mismo factor.
@JavierBadia: Interpretaste bien mi pregunta. Pero su respuesta no despejó mi duda. Para su comprensión, me gustaría formular mi pregunta de otra manera: ¿Existe una unidad universal mediante la cual todas esas ecuaciones que son físicamente simétricas también se vuelvan matemáticamente simétricas?
Estos parámetros pueden ser absorbidos en las ecuaciones por una mera elección de dimensiones o una redefinición de $\vec{E}$ y $\vec{B}$ (haciendo así las ecuaciones simétricas). Sin embargo, hay otra asimetría que es la más importante , la falta de monopolos magnéticos (en contraste con los monopolos eléctricos, por ejemplo, electrones)
@NikosM. : Pero la inexistencia de mono polos magnéticos no está probada, ¿verdad? Dado que las leyes que he enunciado se supone que son físicamente simétricas, ¿no debería ser tal la convención para elegir las unidades que se dé el beneficio de la duda a las simetrías existentes sobre aquellas cuya existencia no está probada? (como la existencia de monopolos magnéticos).
@Simha, seguro que diría que la existencia de monopolos magnéticos aún no está probada :)
Si usa H en lugar de B, se restaura cierta simetría: $\nabla\times E=-\mu_0\partial_t H$ y $\nabla\times H=\epsilon_0\partial_t E$ .

ProfRob · Answer 1

Las ecuaciones de Maxwell en el vacío son simétricas salvo el problema con las unidades que has identificado. En unidades SI

\nabla \cdot mi = 0 \nabla \cdot B = 0

$\nabla \cdot {\bf E} = 0\ \ \ \ \ \ \nabla \cdot {\bf B} =0$

\nabla \times mi = - \frac{\partial B}{\partial t} \nabla \times B = m_{0} ϵ_{0} \frac{\partial mi}{\partial t}

$\nabla \times {\bf E} = -\frac{\partial {\bf B}}{\partial t}\ \ \ \ \ \ \nabla \times {\bf B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial {\bf E}}{\partial t}$

si dejamos $\mu_0=1$ , $\epsilon_0 =1$ (efectivamente diciendo que estamos adoptando un sistema de unidades donde $c=1$ , entonces estas ecuaciones se vuelven completamente simétricas al intercambio de ${\bf E}$ y ${\bf B}$ excepto por el signo menos en la ley de Faraday. Son simétricos a una rotación (ver más abajo).

Si se introducen los términos fuente, se rompe la simetría, pero solo porque aparentemente habitamos un universo donde no existen los monopolos magnéticos. Si lo hicieran, entonces las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir simétricamente. Suponemos una densidad de carga magnética $\rho_m$ y una densidad de corriente magnética ${\bf J_{m}}$ , luego escribimos

\nabla \cdot mi = ρ \nabla \cdot B = ρ_{metro}

$\nabla \cdot {\bf E} = \rho\ \ \ \ \ \ \nabla \cdot {\bf B} = \rho_m$

\nabla \times mi = - \frac{\partial B}{\partial t} - j_{metro} \nabla \times B = \frac{\partial mi}{\partial t} + j

$\nabla \times {\bf E} = -\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} - {\bf J_m}\ \ \ \ \ \ \nabla \times {\bf B} = \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} + {\bf J}$

Con estas definiciones, las ecuaciones de Maxwell adquieren simetría para transformaciones de dualidad. Si pones $\rho$ y $\rho_m$ ; ${\bf J}$ y ${\bf J_m}$ ; ${\bf E}$ y ${\bf H}$ ; ${\bf D}$ y ${\bf B}$ en matrices de columna y operar sobre todas ellas con una matriz de rotación de la forma

(\begin{array}{cc} porque ϕ & - pecado ϕ \\ pecado ϕ & porque ϕ \end{array}),

$\left( \begin{array}{cc} \cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array} \right),$ dónde

ϕ

$\phi$ es algún ángulo de rotación, entonces las fuentes y campos transformados resultantes también obedecen a las mismas ecuaciones de Maxwell. por ejemplo si

ϕ = π / 2

$\phi=\pi/2$ luego, los campos E y B intercambian identidades; los electrones tendrían una carga magnética, no una carga eléctrica y así sucesivamente.

Si bien se puede discutir sobre lo que definimos como cargas eléctricas y magnéticas, en la actualidad es un hecho empírico que cualquiera que sea la relación entre la carga eléctrica y la magnética (porque se puede hacer cualquier relación para satisfacer las ecuaciones simétricas de Maxwell) todas las partículas parecen tener la misma proporción, por lo que elegimos arreglarlo para que uno de los tipos de carga sea siempre cero, es decir, sin monopolos magnéticos.

Menciono todo esto realmente como una curiosidad. Me parece que las simetrías reales de las ecuaciones de Maxwell solo surgen cuando se consideran los potenciales electromagnéticos .

por ejemplo, si insertamos $B = \nabla \times {\bf A}$ y $E= -{\bf \nabla V} - \partial {\bf A}/\partial t$ en nuestra ley de Ampere

\nabla \times (\nabla \times A) = \frac{\partial}{\partial t} (- \nabla V - \frac{\partial A}{\partial t}) + j,

$\nabla \times (\nabla \times {\bf A}) = \frac{\partial}{\partial t} \left({\bf -\nabla V} - \frac{\partial {\bf A}}{\partial t}\right) +{\bf J},$

- \nabla^{2} A + \nabla (\nabla \cdot A) = - \nabla \frac{\partial V}{\partial t} - \frac{\partial^{2} A}{\partial t^{2}} + j .

$-\nabla^2 {\bf A} +\nabla(\nabla \cdot {\bf A}) = -\nabla \frac{\partial V}{\partial t} - \frac{\partial^2 {\bf A}}{\partial t^2} + {\bf J}.$ Luego usando el calibre de Lorenz

\nabla \cdot A + \frac{\partial V}{\partial t} = 0

$\nabla \cdot {\bf A} + \frac{\partial V}{\partial t} = 0$ nosotros podemos obtener

\nabla^{2} A - \frac{\partial^{2} A}{\partial t^{2}} + j = 0

$\nabla^2 {\bf A} - \frac{\partial^2 {\bf A}}{\partial t^2} + {\bf J} = 0$ Una llamada ecuación de onda no homogénea. Un conjunto similar de operaciones sobre los rendimientos de la ley de Gauss

\nabla^{2} V - \frac{\partial^{2} V}{\partial t^{2}} + ρ = 0

$\nabla^2 V - \frac{\partial^2 V}{\partial t^2} + \rho= 0$

Estas ecuaciones notablemente simétricas traicionan la estrecha conexión entre la relatividad y el electromagnetismo y que los campos eléctricos y magnéticos son en realidad parte del campo electromagnético. Ya sea que uno observe $\rho$ o ${\bf J}$ ; ${\bf E}$ o ${\bf B}$ , depende totalmente del marco de referencia.

¡Gracias por el tiempo y la respuesta completa, Sr. Rob! Dado que dice que las "ecuaciones notablemente simétricas traicionan la estrecha conexión entre la relatividad", ¿es seguro concluir la inexistencia de monopolos magnéticos? En caso afirmativo, ¿por qué todavía hay incertidumbre en la comunidad científica en cuanto a su inexistencia?
Gracias, pero creo que otros en el sitio podrían responder de manera más completa: soy un estudiante de estos problemas. Creo que si agrega monopolos, las ecuaciones de onda no homogéneas conservan su simetría.
Señor, me gustaría informarle que mi curso de física aún no ha alcanzado la etapa en la que podría comprender los términos matemáticos que ha utilizado desde el 'medidor de Lorenz' en adelante. Sin embargo, estoy familiarizado con los operadores del, ecuaciones diferenciales y ecuaciones de onda. Volveré a revisar esta pregunta una vez que llegue a esa etapa. Por ahora, lo que me interesa es el último párrafo de tu respuesta. Dado que usted dice que la existencia de monopolos magnéticos contradice el estrecho vínculo existente entre la relatividad y el electromagnetismo, ¿prueba esto su inexistencia?
No creo que lo haga, al menos no en el nivel presentado aquí. Y no dije que lo hiciera. Solo argumenté que no necesitas monopolos para escribir las leyes del electromagnetismo de manera simétrica, incluso con cargas y fuentes de corriente.

Javier · Answer 2

En unidades gaussianas, establecemos $\epsilon_0 = \frac1{4\pi}$ (y entonces $\mu_0 = \frac{4\pi}{c^2}$ ) y cambiar las unidades de $B$ por lo que tanto los campos eléctricos como los magnéticos tienen la misma dimensión. En estas unidades, las ecuaciones de Maxwell son las siguientes:

\begin{aligned} \nabla \cdot mi & = 4 π ρ \\ \nabla \times mi & = - \frac{1}{C} \frac{\partial B}{\partial t} \\ \nabla \cdot B & = 0 \\ \nabla \times B & = \frac{4 π}{C} j + \frac{1}{C} \frac{\partial mi}{\partial t} \end{aligned}

$\begin{align} \nabla \cdot \mathbf{E} &= 4\pi \rho \\ \nabla \times \mathbf{E} &= - \frac1{c} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\ \nabla \times \mathbf{B} &= \frac{4\pi}{c} \mathbf{J} + \frac1{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \end{align}$

La simetría que estás buscando está ahí, supongo. Lo importante, por lo que puedo decir, es hacer las cosas tan $E$ y $B$ tienen las mismas unidades (y usando el hecho de que $\epsilon_0 \mu_0 = \frac1{c^2}$ ). No podrás deshacerte del signo menos, pero sin ese signo menos no obtendrías ondas, por lo que es bastante importante.

Timoteo · Answer 3

En realidad, las leyes del electromagnetismo son simétricas. Cualquier evento que permitan las leyes del electromagnetismo, las leyes permiten su imagen especular. Consideremos la situación de un imán que se mueve a través de una bobina. Los electrones se moverán de cierta manera. Veamos qué sucede si haces la imagen especular de ese experimento, ya que son los electrones que giran los que crean un campo magnético, en la imagen especular, los electrones se moverán en dirección opuesta, por lo que el extremo norte se reemplazará con un sur. final para que el campo magnético apunte en la dirección opuesta para que el campo magnético vaya en la dirección opuesta. Si invierte un objeto con un dipolo eléctrico permanente, el extremo positivo no se convierte en un extremo negativo, pero un objeto con un dipolo eléctrico tampoco inducirá una corriente en una bobina. Por lo tanto,

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