¿Por qué la inductancia (L) es proporcional a las vueltas al cuadrado (N²)?

Question

¿Por qué la inductancia (L) es proporcional a las vueltas al cuadrado (N²)?

Física
inductor
magnetismo
inductancia
fórmula-derivación

hkbattusai

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\nabla \times B = m j + \overset{0}{\overset{⏞}{m ϵ \frac{\partial mi}{\partial t}}} .

$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu \mathbf{J} + \overbrace{\mu \epsilon \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}}^0.$

Tomamos la integración superficial de ambos lados, para la superficie ( $s$ ) dentro del camino medio ( $c$ ) del núcleo.

\int_{s} (\nabla \times B) \cdot d s = m \int_{s} j \cdot d s

$\int_s \left( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} \right) \cdot d\mathbf{s} = \mu \int_s \mathbf{J} \cdot d\mathbf{s}$

Usamos el teorema de Stroke para reescribir el lado izquierdo; donde $c$ está en la misma dirección que el flujo magnético $\Phi$ .

\oint_{C} B \cdot d ℓ = m norte yo

$\oint_c \mathbf{B} \cdot d \mathbf{\ell} = \mu N I$

(La integral del lado izquierdo resulta $NI$ , porque hay $N$ alambres diferentes en el devanado).

La densidad del campo magnético dentro de este tipo de núcleos se considera uniforme. Entonces, podemos escribir

B ℓ_{C} \tilde{=} m norte yo ⟹ B = \frac{m norte yo}{ℓ_{C}};

$B \ell_c \overset\sim= \mu NI \implies B = \dfrac{\mu NI}{\ell_c};$

donde $\ell_c$ es la longitud media del camino del núcleo.

Podemos encontrar el flujo magnético a partir de la densidad de flujo magnético que hemos encontrado utilizando el área de la sección transversal del núcleo $A_c$ .

Φ = B A_{C} = \frac{m norte yo A_{C}}{ℓ_{C}}

$\Phi = BA_c = \dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}$

Por definición, la inductancia es la cantidad de flujo magnético generado por corriente aplicada, es decir

L \overset{△}{=} \frac{Φ}{yo} .

$L \overset\triangle= \dfrac{\Phi}{I}.$

Entonces, encontramos la inductancia del sistema como

L = \frac{Φ}{yo} = \frac{\frac{m norte yo A_{C}}{ℓ_{C}}}{yo} = \frac{m norte A_{C}}{ℓ_{C}} .

$\boxed{ L = \dfrac{\Phi}{I} = \dfrac{\dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}}{I} = \dfrac{\mu NA_c}{\ell_c} }.$

Pero, todas las demás fuentes ( ejemplo ) dan la inductancia de un inductor como este como

L = \frac{m {norte}^{2} A_{C}}{ℓ_{C}} .

$L = \dfrac{\mu N^2A_c}{\ell_c}.$

¿Cuál es el error que cometí en mi derivación? Por favor explique en detalle.

Respuestas (3)

¿Por qué la inductancia (L) es proporcional a las vueltas al cuadrado (N²)?

motoprogger · Answer 1

Calcula el flujo del núcleo con la ecuación anterior, y la inductancia toma la suma de todos los flujos a través de cada vuelta. El flujo a través de cada vuelta es el mismo e igual al flujo del núcleo. El flujo del núcleo es proporcional a N, y la suma de flujo por vuelta es proporcional a $N^2$ .

Otra forma de expresar esta dependencia es decir: debido al acoplamiento magnético entre espiras.

¿Quiere decir que N giros contribuyen a generar el flujo, y una vez más estos N giros contribuyen de una manera diferente a crear la inducción, de modo que la inductancia se vuelve proporcional con N por dos veces? eso es N²?
Sí, contribuyen por primera vez a generar el flujo del núcleo y la segunda a "reunirlo".

Andy alias · Answer 2

Piense en un inductor de una sola vuelta (abajo a la izquierda), luego imagine que esa sola vuelta se divide en dos cables paralelos que están enrollados muy apretados para que ocupen prácticamente el mismo espacio (abajo a la derecha).

Los dos cables paralelos, para un voltaje aplicado dado, tomarán cada uno la mitad de la corriente del inductor de una sola vuelta y, juntos, tomarán la misma corriente que la de una sola vuelta: -

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Debido a esto, cada cable paralelo individual DEBE tener el doble de la impedancia del cable único y, juntos, cuando se conectan en paralelo, deben exhibir la misma impedancia que el cable único. ¿Está bien hasta ahora?

Ahora, reorganiza esos dos cables (en el ojo de tu mente) para que estén en serie entre sí. La impedancia cambia a cuatro veces la impedancia: -

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Esto significa que la inductancia se ha cuadruplicado para duplicar las vueltas y es trivial extender este ejemplo a n vueltas.

alfredo centauro · Answer 3

¿Cuál es el error que cometí en mi derivación? Por favor explique en detalle.

la inductancia es

L = \frac{λ}{yo} = \frac{norte Φ}{yo}

$L = \frac{\lambda}{I} = \frac{N\Phi}{I}$

donde $\lambda$ es el enlace de flujo : el flujo magnético une N vueltas.

¿Por qué la inductancia (L) es proporcional a las vueltas al cuadrado (N²)?

hkbattusai

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