¿Por qué la corriente de retorno a través del plano de tierra de una placa de circuito impreso se concentra debajo de la traza del circuito?

Recuerde que la historia que les contamos a los niños sobre las corrientes eléctricas, que la energía en los circuitos eléctricos es transportada por cargas eléctricas en movimiento, se encuentra entre una simplificación excesiva y una ficción. El flujo de energía en los circuitos eléctricos es transportado por campos electromagnéticos . Eso es cierto incluso para los circuitos de CC, como el que se muestra a continuación. Puede pensar en la línea de transmisión entre la fuente de voltaje y la carga como un capacitor, con un campo eléctrico$\color{red}{\vec E}$apuntando desde el cable superior hacia abajo, y como un inductor con un campo magnético$\color{green}{\vec H}$apuntando a la página en el bucle y volviendo al exterior. La magnitud y dirección del flujo de potencia viene dada por el vector de Poynting$\color{blue}{\vec S} \propto \color{red}{\vec E}\times\color{green}{\vec H}$, que apunta desde la batería, baja por la línea de transmisión y entra en la resistencia. Si haces la integral tridimensional dura para averiguar cuánto del flujo de energía en este tipo de circuito está descrito por el vector de Poynting, encuentras... todo.

Por Chetvorno - Trabajo propio, CC0 , Enlace

Para encontrar la distribución de cargas en el plano de tierra, tenemos que satisfacer las condiciones de contorno del campo electromagnético en las superficies de los conductores. Hagamos una carga estática en la traza conductora (por ejemplo: una señal de voltaje constante a algún FET con una impedancia de entrada muy grande, para que no consuma corriente) primero, para calentar. Para una carga puntual sobre un plano conductor infinito en$z=0$, el método de cargas de imagen da densidad de carga en el plano de tierra

dónde$\rho$es la distancia cilíndrica desde la carga puntual. Tenga en cuenta que la distancia total entre un punto$(\rho,\phi,0)$en el plano de tierra y la carga puntual en$(0,\text{anything},a)$es$r=(\rho^2+a^2)^{1/2}$. Si$\theta$es el ángulo entre$\vec r$y la vertical, tenemos$\sigma \propto r^{-3}a \propto r^{-2}\cos\theta$por una carga puntual.

Obtuvimos ese resultado usando el potencial de una carga puntual (y su imagen especular) de$V\propto r^{-1}$por una distancia$r$del cargo. El potencial debido a una carga de línea es como$V\propto \ln r$para una distancia (perpendicular)$r$del cargo. Haciendo la misma derivada que en (1) debería darnos entonces$\sigma \propto r^{-1}\cos\theta$, pero dejare los detalles y$2\pi$s y así sucesivamente para usted.

Así que ahí está su derivación para una carga de línea estática. ¿Cómo cambia la distribución de carga en el plano de tierra si hay corriente? La respuesta es que no. La condición de contorno en$\vec E$en el plano de tierra sigue siendo eso$\vec E$debe ser normal al plano. La corriente introduce por todas partes un campo magnético.$\vec B$eso es perpendicular a la dirección de la corriente de línea. Considere primero el caso de CC/frecuencia cero: no hay$\partial\vec B/\partial t$para cambiar el campo eléctrico, por lo que la densidad de carga debe ser la misma que en el caso estático. Esto refuta la intuición (razonable) que afirma en su pregunta de que la corriente del plano de tierra debe ser repelida magnéticamente por la corriente de línea: al hacerlo, se establecería un campo eléctrico transversal en la superficie del conductor del plano de tierra.

Para una corriente CA, puede pensar en la traza de corriente como una línea de carga cuya densidad de carga varía sinusoidalmente a lo largo de su longitud. El método de las cargas de imagen sugiere que la carga de la superficie bajo el plano de tierra aún debería variar como$\sigma\propto r^{-1}\cos\theta$para cualquier "rebanada transversal" debajo de la traza actual, dando los mismos campos eléctricos que si hubiera una anti-traza debajo del plano de tierra con la distribución de carga opuesta. Esa distribución de carga tiene distinto de cero$\vec E_\parallel$en el plano de tierra, en la dirección de la corriente de línea; esos son los campos que, junto con el cambio$\vec B$, mueva las cargas del plano de tierra en la dirección paralela al flujo de corriente. El trabajo de probar que la componente del plano de tierra de$\vec E$transversal a la traza del circuito se desvanece por todas partes. Te lo dejaré a ti también.

Aquí hay otro argumento de que las distribuciones de carga estática y dinámica transversales a la traza del circuito deberían ser las mismas, según la simetría. (Creo que aprendí sobre este problema del libro de texto de E&M de Griffiths). Imagina que tienes dos cargas lineales infinitas, paralelas y de signos opuestos en reposo entre sí: experimentarán una atracción electrostática, pero no una interacción magnética. Sin embargo, otro experimentador que pasa junto a usted ve las dos cargas lineales, en su marco de referencia reforzado, ve las cargas lineales como corrientes antiparalelas, que tienen una repulsión magnética además de su atracción electrostática; la repulsión magnética se vuelve más fuerte, en su marco de referencia, a medida que pasa más rápido y la corriente aparente se vuelve más grande. Parece plausible que, si el otro experimentador pasa junto a usted lo suficientemente rápido, podría ver que la repulsión magnética se vuelve más grande que la atracción electrostática. Entonces no estarías de acuerdo sobre si las dos cargas lineales se atrajeron o se repelieron entre sí. Es instructivo calcular la velocidad del impulso a la que las fuerzas magnéticas y eléctricas se equilibran exactamente, aunque si ha estudiado la relatividad especial, es posible que pueda adivinar la respuesta.

Le acabo de hacer esta pregunta a un profesor, y cree que la concentración de corriente de retorno debajo de la traza del circuito es en realidad solo un efecto de CA. Los campos eléctricos y magnéticos que oscilan rápidamente inducen una corriente de imagen ficticia en el otro lado del conductor, y los cables real e imagen juntos actúan como una línea de transmisión. Pero esto solo funciona si los campos oscilan lo suficientemente rápido: en el límite de CC, la repulsión magnetostática entre la traza y la corriente de retorno hace que la corriente de retorno se extienda lejos de la traza del circuito.