¿Por qué hay dos niveles cuasi Fermi y solo un nivel Equilibrium Fermi?

Creo que los autores, de la referencia que proporcionó, explican la razón detrás de la introducción de estos llamados niveles cuasi-Fermi al final de la sección 4.3.3. Para simplificar, permítanme repetirlo aquí; quizás explicarlo con otras palabras, con un poco más de elaboración, ayudaría. Estoy seguro de que eres consciente del hecho de que en$n$- ($p$-) semiconductores dopados, el nivel de Fermi está más cerca de la banda de conducción (valencia) en lugar de estar cerca de la mitad de la banda prohibida. Para ser más matemáticamente preciso, el nivel de Fermi de$n$- ($E_{F,e}$) y$p$-dopado ($E_{F,h}$) semiconductores está dada por

$$E_{F,e}=E_{F,i}+k_{B}T\ln\left(\frac{n}{n_{i}}\right)$$ y $$E_{F,h}=E_{F,i}-k_{B}T\ln\left(\frac{p}{n_{i}}\right)$$ respectivamente. Las cantidades $E_{F,i}$, $k_B$, $T$, y $n_i$son el nivel intrínseco de Fermi, la constante de Boltzmann, la temperatura y la concentración intrínseca de portadores, respectivamente. Las cantidades $n\approx N_{D}-N_{A}$y $p\approx N_{A}-N_{D}$dónde $N_A$y $N_D$son las concentraciones de aceptor y donante.

Ahora, cuando tiene una fuente de luz constante que irradia su muestra de semiconductor, crea una gran cantidad (en comparación con las excitaciones térmicas) de pares de orificios de electrones (EHP). Podría pensar en ello como el dopaje de la muestra con el mismo número de electrones y huecos; llamemos a esto “fotodopaje”. En esta imagen de fotodopaje, es mucho más fácil pensar en dos niveles cuasi-Fermi separados para electrones y huecos. Puede notar que las dos ecuaciones anteriores no son más que un reordenamiento de la ecuación (4-15) de la referencia que proporcionó. La razón por la que se denominan niveles de Fermi “cuasi” es que el nivel de Fermi solo se define en equilibrio. Pero en este caso particular, el estado estacionario podría tratarse simplemente como un tipo diferente de equilibrio.

Para responder a su pregunta de por qué no tenemos dos niveles cuasi-Fermi en equilibrio, diría: en principio, podría definir niveles cuasi-Fermi incluso cuando tenemos EHP debido a excitaciones térmicas. Sin embargo, las concentraciones típicas de EHP excitados térmicamente son tan pequeñas que pueden incorporarse a la ampliación de la función de distribución de Fermi-Dirac. En el sentido matemático, también podría incorporar el caso de la fotoexcitación (o fotodopaje) en la ampliación de la distribución de Fermi-Dirac. Pero luego te encuentras con lo físicoproblema contraintuitivo de definir qué significa temperatura. En primer lugar, una muestra irradiada con luz no se encuentra en equilibrio térmico. En segundo lugar, dado que la temperatura, en el sentido convencional, está asociada con la energía térmica del sistema, tiene sentido incorporar solo EHP generados térmicamente en la ampliación de la distribución de Fermi-Dirac.

En su ejemplo particular, tenemos un$n$-sistema dopado. En consecuencia, las concentraciones$n_0 = 10^{14}$cm$^{-3}$y$p_0 = 2.25 \times 10^{6}$cm$^{-3}$existen en equilibrio térmico . Cuando (digamos) lo iluminas, tenemos$n \approx p = 2 \times 10^{13}$cm$^{-3}$por fotoexcitaciones. En este ejemplo particular, el nivel de electrones cuasi-Fermi no está tan lejos del nivel de Fermi en equilibrio. Sin embargo, el nivel cuasi-Fermi de los agujeros está significativamente alejado del nivel de Fermi en el equilibrio. Esta es una consecuencia directa del hecho de que la concentración de portadores minoritarios salta en gran medida. Ahora, si tuviéramos que definir funciones de distribución de Fermi-Dirac separadas para electrones y huecos, bajo esta condición de estado estacionario, y calculáramos las respectivas integrales de Fermi-Dirac usando la densidad de estados de las bandas de conducción y valencia, entonces obtendríamos las concentraciones correctas de electrones y huecos (es decir,$2 \times 10^{13}$cm$^{-3}$). Esta es otra forma de justificar dos niveles cuasi-Fermi separados.

Tiene sentido por qué la separación entre los niveles cuasi-Fermi sería proporcional a la tasa de generación de EHP debido a la fotoexcitación. Como resultado, la separación entre los niveles cuasi-Fermi, tal como dicen los autores, es una medida de cuánto está fuera de equilibrio el sistema. Entonces, en resumen, creo que la mejor manera de obtener una intuición para los niveles cuasi-Fermi es considerando la imagen del fotodopaje. Aunque los autores no mencionan esto explícitamente, tengo el presentimiento de que el concepto de niveles cuasi-Fermi se inspiró en el dopaje convencional (usando átomos donantes o aceptores).

Básicamente, los electrones son fermiones, por lo que un conjunto de electrones en equilibrio térmico siempre se caracteriza por un nivel de fermi (también conocido como potencial químico) y temperatura. La probabilidad de que un estado de energía$E$está ocupado es

$$P(E) = 1 / (1 + \exp((E-E_F)/kT)$$ (Esto es despreciar las interacciones electrón-electrón, lo que generalmente está bien en un semiconductor). Esta ley general es cierta independientemente de cuáles sean los valores posibles de $E$son -- puede haber una banda de conducción y una banda de valencia, está bien, sigue siendo un nivel de Fermi y una temperatura. Este hecho sobre los sistemas fermiónicos de equilibrio térmico es generalmente cierto y puede encontrar pruebas y explicaciones en los libros de mecánica estadística.

Cuando hablamos de estados fuera de equilibrio, como un semiconductor bajo polarización y/o bajo iluminación, todas las apuestas están canceladas. No hay garantía sobre qué estados están o no ocupados con qué probabilidad.

Sin embargo, existe una situación relativamente común que es la siguiente:

• Los electrones de la banda de conducción interactúan muy rápidamente entre sí y con los fonones, a través de colisiones aleatorias.

• Los electrones de la banda de valencia interactúan muy rápidamente entre sí y con los fonones, a través de colisiones aleatorias.

• Las interacciones aleatorias (térmicas) que aumentan o disminuyen el número de electrones de banda de conducción o electrones de banda de valencia, como la generación térmica de pares de electrones y huecos o la recombinación de pares de electrones y huecos, ocurren con relativa lentitud.

¿Qué significa "rápidamente" y "lentamente"? Imaginamos algún proceso que aleja al sistema del equilibrio, como la luz que se absorbe; y es contrarrestado por procesos térmicos aleatorios que (siempre) tienen una fuerte tendencia a empujar el sistema hacia un estado de equilibrio. Si los procesos térmicos aleatorios ocurren lo suficientemente rápido, entonces el sistema permanece más o menos en un estado de equilibrio. El proceso que aleja al sistema del equilibrio no puede hacer nada cuando lucha contra esta tendencia mucho más fuerte del sistema a permanecer en equilibrio. Esa es la definición de un proceso de aleatorización "rápido" (también conocido como "termalización").

Un proceso de aleatorización "lento" es todo lo contrario; el sistema solo está ligeramente inclinado para moverse gradualmente hacia el equilibrio. Entonces, en este caso, puede obtener un estado estacionario sin equilibrio donde el proceso externo que mueve el sistema lejos del equilibrio (como la luz que se absorbe o un sesgo que inyecta cargas) está exactamente equilibrado por los procesos aleatorios internos que mueven el sistema hacia el equilibrio ( por ejemplo, si hay una cantidad inusualmente grande de pares de agujeros de electrones, tenderán a recombinarse cuando colisionen aleatoriamente).

Volviendo a los tres puntos anteriores: en esta situación, la consecuencia es que los electrones de la banda de conducción tienen que tener una distribución fermi-dirac con la temperatura$T$(la temperatura del material); los electrones de la banda de valencia tienen que tener una distribución fermi-dirac con la temperatura$T$; pero debido al tercer punto, el nivel de fermi de la banda de conducción no necesita ser el mismo que el nivel de fermi de la banda de valencia.

Es útil pensar en situaciones en las que las tres viñetas no son ciertas. En los dispositivos de electrones balísticos y de electrones calientes, el primer punto no es válido. Los electrones en estos dispositivos pueden tener una temperatura diferente a la temperatura del material, o incluso pueden no tener temperatura en absoluto (es decir, puede no haber valor de$(E_F,T)$que hacen la ecuacion$P(E) = (1 + \exp((E-E_F)/kT)^{-1}$válido.)

Otro ejemplo es en un material donde los electrones y los huecos se combinan extremadamente rápido, por lo que el tercer punto no es cierto. Entonces, en realidad se requiere que la banda de conducción y valencia tengan (aproximadamente) el mismo nivel cuasi-fermi. Cuanto más rápido se recombinen, más cerca deben estar los dos niveles cuasi-fermi, en igualdad de condiciones.