¿Por qué esta fórmula dice que la eficiencia del cohete depende de la velocidad?

Esta es una pregunta excelente.

La respuesta es que el combustible en un cohete en movimiento tiene algo de energía cinética . Después de todo, se está moviendo a gran velocidad con respecto a la Tierra. La cantidad de esta energía depende de qué tan rápido se mueva el cohete y, sorprendentemente, el motor del cohete puede extraer esta energía y convertirla en trabajo útil. Puede notar que una fórmula que mostró está logrando una eficiencia del 100% cuando la velocidad del cohete es igual a la velocidad del escape del cohete (v = ve). Esto es así porque cuando v=ve, la velocidad de escape relativa a la Tierra sería cero y toda la energía cinética almacenada en el combustible será extraída completamente por el motor del cohete y utilizada para acelerar el cohete.

Por otro lado, el trabajo realizado por el motor del cohete aumenta la energía cinética tanto del cohete como del combustible restante que aún se mueve con el cohete. Entonces, en un cohete, primero empujas algo de energía en el combustible y luego recuperas parte de esa energía a través del motor del cohete. Usted siempre pone el 100% de la energía en combustible, pero puede recuperar solo una fracción de eso y su fórmula en realidad dice cuánta energía se recuperaría.

Hay algunos efectos prácticos que surgen de esta observación. Por ejemplo, considere un automóvil con un motor de 200 hp. Incluso si elimina toda la fricción, la resistencia del aire, etc., cuanto más rápido vaya el automóvil, más lenta será su aceleración. Esto sucede porque la energía de un automóvil crece linealmente con el tiempo y la energía cinética es proporcional a la velocidad al cuadrado, por lo que debe hacer más y más trabajo para obtener una milla adicional por hora. Pero gracias a ese "efecto extra de energía en el combustible" esto no afecta a los cohetes. De hecho, los cohetes acelerarán cada vez más rápido a medida que pasa el tiempo, a pesar de que el motor del cohete nominalmente tiene una potencia constante muy parecida a la del motor de un automóvil. Esto sucede porque hay más y más energía cinética disponible en el combustible para cohetes y con la disminución de la cantidad de combustible en el cohete, cada vez menos energía va allí.

Normalmente, no es necesario que piense en todo esto, porque hay ecuaciones que son mucho más prácticas para los cohetes reales. Sin embargo, hay un buen truco llamado efecto Oberth que realmente aprovecha esta idea y se usa en la exploración espacial. En la maniobra de Oberth, uno usa la gravitación del planeta para acelerar la nave espacial y combustible dentro de ella , obteniendo algo de energía cinética adicional en ese combustible. Una vez que la nave espacial "recolectó" tanta energía cinética como sea posible, el motor del cohete puede dispararse para extraer trabajo útil de él. Y en realidad funciona.

La eficiencia energética no es muy útil cuando se aplica a los motores de cohetes para la exploración espacial. Usando esta definición de eficiencia del motor, un propulsor de gas frío es más eficiente que un motor de iones.$^{*}$Se trata de la eficiencia con la que la energía extraída del combustible se convierte en una fuerza sobre el vehículo. Básicamente dice que si su escape viaja "hacia atrás" después de acelerar su nave (su vehículo viaja a una velocidad inferior a la velocidad del escape), entonces se usó demasiada energía para acelerar el escape, y podría haber sido usado acelerar el vehículo en su lugar$^{**}$. (Por el contrario, si ya está viajando más rápido que la velocidad de su escape, la eficiencia podría mejorarse acelerando su escape aún más)

Los factores que tienden a importar para un vehículo de lanzamiento o una nave espacial son

• ISP
• relación de empuje a peso
• fracción de masa.

Una forma de hacer que un motor de cohete sea "energéticamente eficiente" transportaría una gran cantidad de propulsor inerte para reducir la velocidad de escape a bajas velocidades. Esto le daría a su vehículo un ISP pobre y una fracción de masa pobre.

Un "Cohete Air Augmented" mejora la eficiencia del motor y el ISP, pero tan pronto como el vehículo de lanzamiento está fuera de la atmósfera más espesa, pierde sus ventajas.

$*$Su eficiencia de combustible es un asunto completamente diferente.

${**}$Debido a que un motor de cohete acelera su escape para acelerar el vehículo, realmente no hay mucho que se pueda hacer al respecto.

Esperaría que la misma cantidad de combustible se convierta en el mismo aumento de velocidad, independientemente de la velocidad actual.

Comencemos con nuestro amigo.$E_k = \frac{1}{2}mv^2$. Cada incremento de combustible quemado te da una cierta cantidad de energía , pero cuanto más rápido vas, menos aumento de velocidad puedes obtener de esa misma energía. Esto se aplica a los objetos cotidianos, no solo a los cohetes, por lo que no debería sorprender que un término de velocidad pueda aparecer en alguna parte.

$\frac{1}{2}mv^2$también se aplica al escape, lo que nos lleva a lo que @JCRM explica sobre la eficiencia. La eficiencia en términos de aceleración del cohete significa que la cantidad máxima de energía debe transferirse al cohete y la cantidad mínima debe quedar en el escape. La energía cinética del escape se minimiza si se deja "en reposo", es decir, cuando$v_e = v$. Si$v_e$es más o menos, entonces el escape tendrá algo de energía cinética sobrante, que por lo tanto, no entra en el cohete.