¿Por qué el sol no aleja a la luna de la tierra?

¿Por qué el sol no aleja a la luna de la tierra?

Respuesta corta: porque la Luna está mucho más cerca de la Tierra que del Sol. Esto significa que la aceleración gravitacional de la Tierra hacia el Sol es casi la misma que la aceleración gravitacional de la Luna hacia el Sol.

La aceleración de la Luna hacia el Sol,$-GM_\odot\frac{\boldsymbol R+\boldsymbol r}{||\boldsymbol R+\boldsymbol r||^3}$es de hecho aproximadamente el doble de la de la Luna hacia la Tierra,$-GM_\oplus\frac{\boldsymbol r}{||\boldsymbol r||^3}$. Esto es irrelevante. Lo que es relevante es la aceleración de la Luna hacia la Tierra debido a la gravitación en comparación con la diferencia entre la aceleración gravitatoria hacia el Sol de la Luna y la Tierra,

Respuesta más larga:

La fuerza gravitatoria que ejerce el Sol sobre la Luna es más del doble de la que ejerce la Tierra sobre la Luna. Entonces, ¿por qué decimos que la Luna gira alrededor de la Tierra? Esto tiene dos respuestas. Una es que "órbita" no es un término mutuamente excluyente. El hecho de que la Luna orbite alrededor de la Tierra (y lo hace) no significa que no también orbite alrededor del Sol (o la Vía Láctea, para el caso). Lo hace.

La otra respuesta es que la fuerza gravitacional tal como es no es una buena métrica. La fuerza gravitatoria del Sol y la Tierra son iguales a una distancia de unos 260000 km de la Tierra. Los comportamientos a corto y largo plazo de un objeto que orbita la Tierra a 270 000 km son esencialmente los mismos que los de un objeto que orbita la Tierra a 250 000 km. Esos 260000 km donde las fuerzas gravitatorias del Sol y la Tierra son iguales en magnitud no tiene sentido.

Una mejor métrica es la distancia a la que una órbita permanece estable durante mucho, mucho, mucho tiempo. En el problema de los dos cuerpos, las órbitas a cualquier distancia son estables siempre que la energía mecánica total sea negativa. Este ya no es el caso en el problema de cuerpos múltiples. La esfera de Hill es una métrica algo razonable en el problema de los tres cuerpos.

La esfera de Hill es una aproximación de una forma mucho más compleja, y esta forma compleja no captura la dinámica a largo plazo. Un objeto que orbita circularmente en (por ejemplo) 2/3 del radio de la esfera de Hill no permanecerá en una órbita circular por mucho tiempo. En cambio, su órbita se volverá bastante intrincada, a veces descendiendo hasta cerca de 1/3 del radio de la esfera de Hill desde el planeta, otras veces moviéndose ligeramente fuera de la esfera de Hill. El objeto escapa de las garras gravitatorias del planeta si una de esas excursiones más allá de la esfera de Hill ocurre cerca del punto de Lagrange L1 o L2.

En el problema de N-cuerpos (por ejemplo, el Sol más la Tierra más Venus, Júpiter y todos los demás planetas), la esfera de Hill sigue siendo una métrica razonablemente buena, pero debe reducirse un poco. Para un objeto en una órbita progresiva como la Luna, la órbita del objeto permanece estable durante un período de tiempo muy largo, siempre que el radio orbital sea inferior a la mitad (y quizás 1/3) del radio de la esfera de Hill.

La órbita de la Luna alrededor de la Tierra es actualmente aproximadamente 1/4 del radio de la esfera Hill de la Tierra. Eso está bien dentro incluso del límite más conservador. La Luna ha estado orbitando la Tierra durante 4.500 millones de años y continuará haciéndolo durante algunos miles de millones de años más en el futuro.

La Luna está en órbita alrededor del Sol, al igual que la Tierra. Aunque esta no es la perspectiva habitual desde la Tierra, un gráfico de la trayectoria de la Luna muestra a la Luna en una órbita elíptica alrededor del Sol. Esencialmente, el sistema Tierra, Luna y Sol es (meta) estable, como el de otros planetas que orbitan alrededor del Sol.

Si "sostenemos" la Tierra y "alejamos" al Sol, la Luna no se quedaría con la Tierra, sino que seguiría al Sol. Es el único satélite del Sistema Solar que se siente atraído por el Sol con más fuerza que por su propio planeta anfitrión:

nuestra Luna es única entre todos los satélites de los planetas, en la medida en que es el único satélite planetario cuyo radio orbital supera el valor umbral, lo que significa que es el único satélite en el que la aceleración gravitatoria del Sol supera la aceleración gravitacional del planeta anfitrión. En consecuencia, es la única luna del sistema solar que siempre cae hacia el Sol.

La luna siempre vira hacia el sol

Estoy de acuerdo con la respuesta de Adrián. Si miras la órbita de la luna, en un sentido muy real, orbita alrededor del sol tal vez más de lo que gira alrededor de la tierra. El sistema Tierra/Luna gira alrededor del sol a 30 KM/s, la Luna gira alrededor de la Tierra a aproximadamente 1 KM por segundo. Ambas órbitas son razonablemente elípticas.

Todo el sistema solar orbita alrededor del centro de la Vía Láctea, por lo que orbitar más de un centro de masa no es inusual. Las órbitas pueden existir dentro de otras órbitas, dentro de unos límites. El límite orbital a veces se denomina Esfera de influencia http://en.wikipedia.org/wiki/Sphere_of_influence_%28astrodynamics%29

Si la luna estuviera un poco más del doble de lo que está ahora de la Tierra, la Tierra podría perderla.

Ahora, si la Luna necesita escapar de la Tierra e ir tras el Sol, necesita más velocidad para hacerlo. No puede escapar de la Tierra hasta que su velocidad sea suficiente para escapar. Necesita más velocidad.

La órbita de la Luna alrededor del Sol es esencialmente un círculo con un radio de 150 millones de kilómetros. Su órbita alrededor de la Tierra tiene solo un radio de 400 000 km, por lo que el efecto de la Tierra es solo una perturbación menor de ella.

Mirando desde el Sol, la Luna tiene una órbita circular a su alrededor, al igual que la Tierra, y su efecto mutuo es casi insignificante.

Ley de Newton: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_law_of_universal_gravitation

F=G*(m1*m2)/d² es la fuerza gravitacional entre 2 cosas de masa m1 y m2, separadas por una distancia d. G es la constante gravitatoria (no recuerdo el valor).
--> F_tierra/luna=F_luna/tierra=G*(m_luna*m_tierra)/d²
Lo mismo para F_sol/luna

Notarás que F_earth/moon es mayor que la otra fuerza, por lo que la Luna es más atraída por la Tierra que por el Sol.