¿Por qué el diseñador usó este motor?

Yo diría que esto fue puramente para reducir costos. Con un motor de CA, el dispositivo puede usar un transformador para reducir el voltaje (probablemente una verruga de pared barata), pero omite tener un puente rectificador para convertirlo a CC. Además, los motores de engranajes de CA son más baratos:

Los motores de CA son generalmente más pequeños, menos costosos, más livianos y más resistentes que los motores de CC. Los motores de CC, por otro lado, generalmente se consideran mejores para operaciones de velocidad variable.

( De Sinotech.com )

Dado que este dispositivo no requiere velocidad variable, la elección del motor de engranajes de CA parece obvia.

Debe haber sido menos costoso proporcionar un clip de batería para los LED que unos pocos diodos para la conversión de CC. (O tal vez encenderlo fue una ocurrencia tardía).

En cuanto a por qué el motor no es de CC y funciona con baterías, espero que esto sea algo que deje encendido por un tiempo, y las pequeñas (¿presumiblemente celdas AA?) No harían funcionar un motor continuamente por mucho tiempo.

Sin algo para cerrar un ciclo de control, un motor de CC funcionaría a una velocidad variable durante la vida útil de las baterías, desde demasiado rápido a demasiado lento o nada. Pero el motor de CA síncrono funciona a la velocidad deseada (el módulo se mueve entre países de 60 Hz y 50 Hz) porque es funcionalmente bastante similar a un motor paso a paso impulsado por la frecuencia de línea de CA y sincronizado con ella.

¿No me sorprendería si las baterías están en la parte giratoria? Si es así, eso ahorra la necesidad de anillos colectores o acoplamiento inductivo.

Los motores consumen mucha energía. Sus baterías pueden hacer funcionar los LED durante mucho tiempo por la cantidad de energía que usa un motor pequeño en unos pocos minutos. Los motores de CA son mucho más confiables que los motores de CC porque los motores de CC requieren escobillas y conmutadores para transferir energía a la armadura giratoria.
Se puede hacer que los motores de CA giren bloqueados a una fracción fija baja de la frecuencia de la línea de alimentación. La baja velocidad del motor se traduce en muchas menos vueltas de los cojinetes y, por lo tanto, en una vida útil más larga.
Los motores de CA son más baratos que los motores de CC para velocidades lentas. Dichos motores síncronos están disponibles a bajo precio como unidades de reloj con cajas reductoras adjuntas. Las cajas reductoras de motores de CC son productos personalizados para nichos de mercado y son muy caras.