"Orden" de un filtro digital (FIR e IIR)

Tengo algunas dudas sobre el significado de orden para filtros digitales. Todo lo que pondré aquí está tomado de estas diapositivas .

1) Empecemos por la definición de filtros FIR:

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De esta definición vemos que orden significa el número de valores de entrada retrasados ​​en la ecuación de entrada-salida del filtro .

Entonces mi pregunta es: ¿existe un vínculo con el concepto de "orden" en la teoría del control? Por ejemplo, en la teoría de control, un sistema (o filtro) de segundo orden tiene una función de transferencia con un polinomio de segundo grado en el denominador, y esto también sucede en los filtros analógicos (donde a veces es igual al número de componentes reactivos del circuito). ). ¿Es aplicable también aquí?

2) Consideremos el llamado método de diseño de ventanas:

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Básicamente, intenta realizar (de manera aproximada) un filtro seleccionando una ventana de la respuesta de pulso deseada del filtro, y puede ver en la expresión de w(n) que la longitud de la ventana es igual al orden de el filtro (M-1).

Entonces mi pregunta es: ¿cuál es el vínculo entre el orden del filtro (como se describe en 1) y el número de muestras de la ventana?

FIR: Sin conexión directa... En mi opinión, el término "orden" para FIR es engañoso a este respecto. Para filtros IIR: sí lo hay; y puede traducir aproximadamente un filtro de tiempo continuo en un equivalente TTR (por ejemplo, transformada biliniar).

Respuestas (2)

En general, el orden se refiere al grado subyacente del polinomio. Al igual que un polinomio, existen las potencias de X y los coeficientes. Si el orden es 2, entonces el polinomio tiene 3 potencias de X y 3 coeficientes, pero como X 0 = 1 , decimos que tiene 2 potencias y 3 coeficientes.

Para filtros sin realimentación (FIR), las potencias de X norte son los retrasos, z − norte , y la función de transferencia tiene solo ceros (el denominador es 1, todos los polos están en 0), por lo que los coeficientes del numerador forman el polinomio:

h norte z − norte + h norte − 1 z − ( norte − 1 ) + . . . + h 1 z − 1 + h 0

Las muestras no requieren tener una memoria (por ejemplo, muestra y retención de orden cero). Pero si necesita trabajar con muestras de la memoria, necesitará una muestra para el valor actual, y norte muestras para las que están en la memoria. Esto significa que el número de muestras viene dado por la longitud del filtro, norte + 1 .

Como comentario adicional, verá muchas anotaciones para la longitud y el orden, como la longitud, L = norte + 1 , siendo el orden más uno, y METRO = norte 2 siendo el punto medio, o la mitad del orden.

Para filtros con retroalimentación (IIR), la función de transferencia debe ser adecuada, entonces el grado representa el orden del denominador:

∏ k = 0 norte z − z k z − pag k

que se expande en (ver esto para la fórmula):

∑ k = 0 norte ( − 1 ) norte − k ( ∑ 0 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i norte − k ≤ norte − 1 ∏ j = 1 norte − k pag i j ) z − k

Entonces, sí, dado que la teoría de control hace uso de filtros, obedece a sus definiciones, en general.

Entonces, por ejemplo, si tengo una función de transferencia de cuarto orden que representa un filtro Butterworth, ¿su filtro FIR correspondiente tendrá solo una respuesta de pulso de 4 muestras? estoy un poco confundido
@ Kinka-Byo No existe una correspondencia directa entre un filtro Butterworth y un FIR: uno tiene retroalimentación, el otro no. Probablemente esté hablando de una aproximación para una respuesta de Butterworth, lograda con muestreo de frecuencia u otros métodos similares, pero luego está comparando manzanas y naranjas. Además, en la respuesta dije que la cantidad de muestras está dada por la longitud del filtro , por lo que si desea un IIR o FIR de cuarto orden, el orden de cada uno estará dado por la cantidad de retrasos. Para filtros analógicos, el orden viene dado por el número de elementos reactivos.
(continuación) Para los IIR, el número de retrasos son los del denominador, porque también puede haberlos en el numerador, aunque esto depende de la topología de realización. Para FIR es sencillo.

1) El orden N del filtro FIR solo significa que tiene una longitud de coeficientes M=N+1. Su respuesta de frecuencia (función de transferencia) puede ser cualquier cosa que realmente se pueda realizar con el valor de los coeficientes y la cantidad de coeficientes. No está relacionado con decir filtro analógico de orden X donde significa la pendiente después del corte.

2) Orden N significa longitud M=N+1 coeficientes. Básicamente, tiene un filtro ideal infinitamente largo, y si solo usa la ventana rectangular de longitud M para truncar el filtro infinito para tener solo coeficientes M, entonces termina con un filtro de orden N = M-1.

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