¿Podemos mostrar a través de geometría simple en lugar de fórmulas o gráficos que la mejor relación de planeo se produce en la relación máxima de elevación a arrastre?

Comencemos con un diagrama de elevación/arrastre/peso y dibujemos también el vector de velocidad:

Como no hay empuje involucrado, Elevación+Peso+Arrastrar debe sumar cero. Desplacemos un poco el origen de estos vectores:

Ahora, terminemos el triángulo de velocidad, dibujando a(distancia horizontal) y b(distancia vertical). La relación entre ay bes, por definición, la relación de planeo .

La idea clave aquí es notar que los triángulos LWD y Vab son semejantes , es decir, son el mismo triángulo en una escala. La similitud va: W <-> v, D <-> b, L <-> a.

Esto significa que la razón entre ay bes la misma que la razón entre Ly D. Este último es, por supuesto, la relación de elevación a arrastre.

Entonces, en cualquier condición, la relación de planeo es la misma que la relación de elevación a arrastre. Entonces se deduce que la mejor relación de planeo se logra para la mejor relación de elevación a arrastre.

Primero, una advertencia: tenga en cuenta que esta respuesta se centra en el vuelo de planeo lineal en estado estable. A lo largo de esta respuesta, cuando hablamos de lo que sucede cuando cambiamos el ángulo de ataque y la relación L/D, asumimos que hemos esperado lo suficiente para que el planeador vuelva a equilibrarse a la velocidad adecuada para el nuevo ángulo de ataque y relación L/D.

Los tres diagramas vectoriales a continuación representan exactamente la misma situación física: vuelo de planeo sostenido y en estado estable a lo largo de una trayectoria de vuelo lineal en aire en calma. Hemos representado las fuerzas aerodinámicas en negro y la fuerza gravitacional, el vector de peso, en verde. Los diagramas de la izquierda y de la derecha son más fáciles de entender que el diagrama del medio, porque los vectores de fuerza están ordenados en un polígono cerrado (un triángulo en este caso), lo que nos muestra instantáneamente que la fuerza neta es cero. En el diagrama de la derecha, también hemos incluido el vector de velocidad aerodinámica y sus componentes horizontal y vertical.

La sustentación se define como actuando en ángulo recto con el viento relativo, es decir, el flujo de aire aparente sin perturbaciones creado por la trayectoria de la aeronave a través de la masa de aire. Es decir, la sustentación se define como actuando en ángulo recto con respecto a la trayectoria de vuelo a través de la masa de aire. La resistencia se define como la acción paralela al viento relativo, es decir, paralela a la trayectoria de desplazamiento del avión a través de la masa de aire.

Tenga en cuenta que K es el ángulo de deslizamiento y que en el diagrama de la derecha, el triángulo formado por los vectores de fuerza y ​​el triángulo formado por los vectores de velocidad son triángulos semejantes. Esta es la razón por la cual la relación de planeo en aire en calma, la relación entre la velocidad horizontal y la tasa de descenso en aire en calma, es idéntica a la relación entre sustentación y arrastre.

La mejor relación de planeo con aire en calma, es decir, la mejor relación entre la distancia horizontal recorrida y la altitud perdida en aire en calma, debe coincidir con la mejor relación entre sustentación y arrastre.

Tenga en cuenta que en un planeo de estado estable, la sustentación es menor que el peso en la misma proporción en que la velocidad horizontal es menor que la velocidad aerodinámica. Para muchos cálculos, suponer que la sustentación y el peso son iguales, y que la velocidad horizontal y la velocidad aerodinámica son las mismas, es una aproximación lo suficientemente cercana. Sin embargo, nuestro triángulo vectorial es muy sensible a esta distinción: pasarla por alto obliga a nuestro triángulo vectorial a contraerse en una línea recta, lo que obliga a que la tasa de descenso sea cero y nos da un ángulo de planeo de cero, es decir, un índice de planeo infinito.

También tenga en cuenta que la geometría del triángulo es tal que la relación máxima de Elevación a Arrastre también coincide con el valor mínimo de Arrastre y el valor máximo de Elevación.

Tenga en cuenta que el valor mínimo de arrastre no coincide con el valor mínimo del coeficiente de arrastre . El coeficiente de arrastre se minimiza con ángulos de ataque muy bajos, es decir, con velocidades aerodinámicas muy altas. Por lo tanto, debemos tener cuidado con lo que queremos decir cuando decimos que queremos minimizar el arrastre para maximizar la relación de planeo. Esto solo es cierto cuando hablamos de Drag como una fuerza real, no como un coeficiente. Lo mismo es cierto para Ascensor. Si bien (para relaciones L/D razonablemente altas) la sustentación varía mucho menos que la resistencia a medida que cambiamos la relación L/D, sigue siendo cierto que en vuelo planeando, la sustentación es ligeramente más alta en el punto de máxima relación L/D que en cualquier otro. otra relación L/D. Pero el coeficiente de elevaciónno se maximiza en el punto de relación L/D máxima; más bien, se maximiza cerca del ángulo de ataque de pérdida. Sin embargo, a pesar de todo esto, es un hecho aritmético que cuando maximizamos la relación L/D, también maximizamos la relación entre el coeficiente de sustentación y el coeficiente de arrastre, aunque no estamos maximizando individualmente ni el coeficiente de sustentación ni el coeficiente de arrastre. .

Advertencia: no confunda el diagrama de la derecha con una indicación de que para minimizar la tasa de caída, simplemente necesitamos minimizar el vector de arrastre. El triángulo del vector de fuerza y ​​el triángulo del vector de velocidad aerodinámica son geométricamente similares , pero no son idénticos .. A medida que cambia la velocidad aerodinámica, todo el triángulo del vector de velocidad aerodinámica aumenta o disminuye de tamaño, mientras que el triángulo del vector de fuerza se bloquea en tamaño por el hecho de que el vector Peso es constante. Si perdemos esta relación, podemos tender a suponer que la velocidad aerodinámica de tasa de caída mínima debe coincidir con la velocidad aerodinámica para la resistencia aerodinámica mínima, que también es la velocidad aerodinámica para la relación L/D máxima. Este no es el caso, como veremos a continuación, la velocidad aerodinámica para la tasa de descenso mínima es menor que la velocidad aerodinámica para la resistencia aerodinámica mínima, que también es la velocidad aerodinámica para la relación L/D máxima.

Cada posible ángulo de ataque del ala está asociado con un coeficiente de sustentación específico, un coeficiente de arrastre específico y una relación de sustentación / arrastre específica. Si ignoramos los efectos debidos a los cambios en el número de Reynolds asociados con los cambios en la velocidad del aire, podemos hacer la aproximación de que el mismo ángulo de ataque del ala siempre estará asociado con el mismo coeficiente de sustentación, coeficiente de arrastre y relación Elevación/Arrastre independientemente de si la aeronave es pesada o liviana, un cambio en el peso se expresa como un cambio en la velocidad aerodinámica asociada con cualquier ángulo de ataque dado, pero no hay cambios en el coeficiente de sustentación, el coeficiente de arrastre o la relación de sustentación/resistencia asociada. con cualquier ángulo de ataque dado. Si aumentamos el peso, cualquier relación L/D dada, incluida la relación L/D máxima, ahora ocurrirá a una velocidad aerodinámica más alta.

Si la mejor relación de planeo con aire en calma ocurre en el mismo ángulo de ataque que da la mejor relación L/D, entonces se deduce claramente que podemos minimizar la tasa de descenso aumentando el ángulo de ataque para reducir la velocidad ligeramente, incluso si esto degrada un poco la relación L/D y la relación de planeo. En otras palabras, si volamos más lentamente por una trayectoria de planeo ligeramente más empinada, podemos minimizar la tasa de caída. Obviamente, hay un límite para este proceso: a medida que continuamos aumentando el ángulo de ataque y degradando la relación L/D, en algún momento, mucho antes de llegar a una pérdida total, llegaremos a un punto en el que la mayor inclinación de la trayectoria de planeo es demasiado para ser compensada por la disminución de la velocidad aerodinámica, y la tasa de caída comenzará a aumentar nuevamente.

De hecho, la relación L/D más alta ocurre en el ángulo de ataque que da la relación más alta de Cl/Cd, mientras que la tasa de caída mínima ocurre en el ángulo de ataque que da la relación más alta de (Cl^3 ) / (Cd ^ 2), que también es la relación más alta de ((L ^ 3) / (D ^ 2)) / velocidad aerodinámica. Está claro que cuando queremos minimizar la tasa de caída, ganamos más maximizando el coeficiente de sustentación que minimizando el coeficiente de arrastre, por lo que debemos elegir un ángulo de ataque que sea algo más alto que el ángulo de ataque para el mejor relación L/D o Cl/Cd. Esto significa que la velocidad aerodinámica para la tasa de descenso mínima siempre es más lenta que la velocidad aerodinámica para la mejor tasa de planeo en aire en calma.

Los diagramas vectoriales como los que se incluyen en esta respuesta son sorprendentemente raros en los libros sobre vuelos elevados. Los materiales publicados por la FAA a veces intentan incluir un diagrama de este tipo, pero invariablemente están muy mal, con la longitud de los diversos vectores de fuerza alterados de modo que no puedan formar un triángulo vectorial cerrado, eliminando así cualquier posibilidad de que el lector entienda. la relación entre los vectores de fuerza y ​​la tasa de planeo. (¿Uno podría esperar con optimismo que estén tratando de demostrar que un planeador no siempre vuela en línea recta sin aceleración?) (Véase, por ejemplo, la figura 3-1 en la página 3-2 del "Manual de vuelo de planeadores" de la FAA (2013)¡aquí incluso han incluido un vector de empuje!) Incluso un libro rico en teoría como "New Soaring Pilot" de Welch, Welch e Irving (3.ª edición, 1977) carece por completo de cualquier presentación de Lift-Drag- Diagrama de peso para un vuelo de planeo en estado estacionario. Sin embargo, consulte la página 233 de ese libro para ver una "curva polar" que muestra claramente que la relación L/D máxima se produce a una velocidad aerodinámica más alta que la tasa de caída mínima.

Un par de notas adicionales--

• Nuestros triángulos vectoriales también muestran que el valor máximo de (velocidad horizontal/tasa de descenso) y el valor máximo de (velocidad aerodinámica/tasa de descenso) ocurren exactamente en la relación L/D máxima, por lo que también podemos encontrar la velocidad aerodinámica para el ángulo de planeo máximo observando el gráfico de (velocidad aérea/índice de caída) versus la velocidad aérea y eligiendo la velocidad aérea donde (velocidad aérea/tasa de caída) se maximiza o (tasa de caída/velocidad aérea) se minimiza. Naturalmente, esta no será la velocidad aerodinámica para la tasa de caída mínima. La velocidad aerodinámica para la tasa de caída mínima siempre será claramente menor que la velocidad aerodinámica para la mínima (tasa de caída/velocidad aérea).

• Ocasionalmente, uno se encuentra con la sugerencia de que la mejor velocidad L/D o la velocidad mínima de tasa de descenso tiene algo que ver con el punto en el que se produce el arrastre inducido.se minimiza. Los diagramas vectoriales anteriores demuestran que mientras el Peso sea fijo, cuando maximizamos L/D, también minimizamos la Arrastre. Entonces, a la mejor velocidad aerodinámica de relación de planeo, donde se maximiza la relación L / D, se minimiza la resistencia. Dado que la resistencia inducida disminuye con la velocidad aerodinámica y la resistencia parasitaria aumenta con la velocidad aerodinámica, se deduce que en el punto de máxima L/D, es decir, en el punto de mínima resistencia, la mitad de la resistencia debe ser resistencia inducida y la otra mitad debe ser resistencia parasitaria. . Este es el único punto donde Drag puede ser mínimo. Claramente, el punto de mejor L/D no se puede vincular a un mínimo en Arrastre inducido o a un máximo en Elevación / Arrastre inducido. La relación Ascensor/Arrastre inducido es más alta con ángulos de ataque muy bajos , es decir, con velocidades aerodinámicas muy altas .

Para obtener más información sobre las relaciones L / D y el vuelo deslizante y el vuelo propulsado, consulte esta respuesta ASE relacionada y otras respuestas vinculadas: potencia 'gravitacional' frente a potencia del motor