Ortogonalidad entre ondas E⃗ E→\vec{E} y H⃗ H→\vec{H} con amplitudes dependientes del espacio

Puedo probar en pocas líneas que los vectores de campo electrodinámicos mi → , H → y S → son todos ortogonales entre sí considerando que mi → y H → son ondas planas coherentes con amplitudes complejas constantes que se propagan en el k → dirección. Véase, por ejemplo , JACKSON JD Classical Electrodynamics (§7.1, Plane Waves in a Nonconducing Medium, 1st ed . (1962), pp. 204-205, eqs. 7.9-7.15).

Mi pregunta es: ¿ hay alguna forma de probar lo mismo pero considerando ondas de amplitudes que varían con el espacio? ( X , y , z ) ?

Ni siquiera he visto esto mencionado en ninguno de los libros que he consultado, todos consideran ondas planas con amplitudes constantes. Traté de probarlo por mi cuenta usando los diferentes métodos que he visto para amplitudes constantes pero todos fallan.

S → es ciertamente ortogonal a ambos mi → , H → porque se define como su producto vectorial. Pero la ortogonalidad de mi → y H → es mucho menos trivial. No puedo ver ninguna prueba simple ahora, pero creo que uno puede mostrar su ortogonalidad.
Sí, el problema es realmente mostrar la ortogonalidad entre H → y mi → . Si te encuentras con una prueba de esto, ¡realmente te agradecería que nos informaras!
Debo mencionar, en esta discusión, que la respuesta probablemente sea negativa. El producto interior mi ⋅ B es un invariante fundamental del campo , 1 4 F m v ∗ F m v . Como deja en claro el artículo de Wikipedia, los campos de radiación que le interesan tendrán un valor igual a cero, pero debe introducir una hipótesis adecuadamente sólida que lo aleje del caso no nulo.

Respuestas (1)

Como señala Ondřej, S es ortogonal a ambos mi y B como se define como su producto cruzado. Sin embargo, mi y B en general no son ortogonales entre sí.

Esto es obvio en el caso general: puedes hacer campos estáticos usando bobinas y electrodos de Helmholtz, completamente independientes entre sí, para lo cual mi ⋅ B es completamente arbitrario. En cierto sentido, esto es trivialmente cierto y no es interesante para el régimen (de radiación) sobre el que está preguntando. Sin embargo, deja en claro que debe ser muy preciso con el tipo de campos que está permitiendo y con qué premisas generales está comenzando, porque si son demasiado amplias, el resultado no será cierto.

Además, me gustaría señalar que no existen las "ondas planas de amplitudes que varían con el espacio". Las ondas planas son ondas planas, punto. La onda plana más general posible tiene campo eléctrico

mi ( r , t ) = R mi ( mi 0 mi i ( k ⋅ r − ω t ) )
y se especifica únicamente por un vector de onda real k y un vector de polarización (posiblemente complejo) mi 0 tal que mi 0 ⋅ k = 0 . La amplitud permanece constante y la onda abarca todo el espacio.

Sin embargo, lo que creo que buscas son campos monocromáticos , que son mucho más generales y que se pueden escribir en la forma

mi ( r , t ) = R mi ( mi 0 ( r ) mi − i ω t ) ,
con una ecuación similar para B , y para las cuales las ecuaciones de Maxwell son las estándar si reemplaza mi y B con el posible complejo mi 0 y B 0 , y todas las derivadas parciales temporales con − i ω (y donde necesita imponer, debido al contraejemplo anterior, la condición de no trivialidad ω ≠ 0 ). Si este es realmente el régimen que está buscando, intentaré pensar en una prueba o un contraejemplo.

Creo que la pregunta interesante es: "¿los campos eléctricos y magnéticos producidos por una fuente única siempre son ortogonales?". De esa manera, descartamos el contraejemplo bastante trivial de dos fuentes diferentes.
@Adam, creo que será todo un desafío formular de manera precisa el hecho de que un campo de radiación se debe a "dos fuentes" en lugar de una. El concepto de campo es precisamente una forma de abstraer la fuente de las fuerzas EM y simplemente tener una propiedad local.
@EmilioPisanty: Veo tu punto. Aunque creo que uno puede reformular el problema de esta manera: dados los movimientos de un punto como carga, ¿puede probarse que el campo EM local en un momento dado es ortogonal o no? Pero estoy de acuerdo en que podría no ser una pregunta muy bien definida y un desafío para responder de todos modos.
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