¿Existe alguna relación matemática entre la onda de materia (u onda de De Broglie) y la función de onda?
Además, ¿cada tipo de partícula (por ejemplo, fotón, electrón, positrón, etc.) tiene su propia función de onda única?
Una onda de de Broglie o de materia es más o menos lo mismo que la función de onda. Reconocer que las partículas tenían longitudes de onda (basadas en el momento) fue la gran intuición de De Broglie.
En cuanto a que cada partícula tenga su propia función de onda, sugiero pensarlo de esta manera:
Si puede caracterizar la cantidad de movimiento de las partículas, encontrará que las partículas con cantidad de movimiento idéntica tienen las mismas longitudes de onda cuando se mueven a través del espacio abierto. De manera similar, si las partículas inmóviles tienen masas en reposo idénticas, tendrán las mismas frecuencias cuánticas (detectables a través de efectos de interferencia) a medida que se mueven en el tiempo. En ese sentido, las funciones de onda de todas las partículas comparten ciertas características comunes que están directamente relacionadas con sus momentos y masas en reposo.
Sin embargo, son otras cantidades conservadas, como el espín (¡especialmente el espín!) y la carga, las que le dan a cada tipo de función de onda de partículas su singularidad real en la forma en que interactúa con otras partículas a lo largo del tiempo. Para mayor profundidad matemática, la teoría cuántica de campos proporciona una forma de modelar partículas como "excitaciones" o vibraciones en campos que están asociados con cada tipo de partícula único.
Una "onda de materia" suele ser lo que la gente llama la función de onda de una sola partícula, pero puede tener otros significados.
Una "onda de materia" también puede ser una gran cantidad de partículas bosónicas que juntas actúan como una onda clásica. Tal colección de átomos se llama condensado de Bose-Einstein, si de fotones, es una onda electromagnética. Son un montón de partículas que son coherentes entre sí, y viajan juntas descritas por una misma onda.
No hay una función de onda separada para cada partícula, la función de onda es una función de todos los mundos posibles, de todas las configuraciones posibles, por lo que solo hay una función de onda para todo el sistema bajo consideración, no una para cada partícula en el sistema. Esto es muy importante, es una confusión recurrente.
Pero esto no significa que no puedas tener ondas separadas para diferentes colecciones de partículas que sean coherentes. Puede tener una onda electromagnética aquí y un condensado de Bose Einstein allá y una onda gravitacional en otro lugar. Entonces, este tipo de onda clásica viene en muchos tipos y puede estar ondeando en diferentes lugares.
Hay otro sentido en el que cada partícula tiene una onda: cada partícula está asociada con un campo clásico cuyo movimiento cuántico describe todas las partículas de ese tipo.