Túneles curvos

Resulta que un camino más largo en realidad puede ser más rápido que el camino en línea recta. El camino más rápido posible en una Tierra uniformemente densa es un hipocicloide . Podemos definir este camino paramétricamente de la siguiente manera:

$$x = (R-r)\cos\theta + r\cos\left(\frac{r-R}{r}\theta\right) \\ y = (R-r)\sin\theta + r\sin\left(\frac{r-R}{r}\theta\right)$$

$R$es el radio del planeta, y$r$es el 'radio' de un solo bucle de la cicloide.$\theta$viene de$0$a$2\pi r/R$sobre un solo bucle. Por ejemplo, el caso$R=1,\ r=0.1$Se ve como esto:

Propiedades Geométricas

Podemos integrar para encontrar la longitud$S$de un bucle:

$$S = \int |d\vec{s}| = \int_0^{2\pi r/R} \sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial\theta}\right)^2}d\theta \\ = \int_0^{2\pi r/R} 2(R-r)\sqrt{\sin^2\left(\frac{R}{2r}\theta\right)}d\theta \\ = 8r(1-\frac r R)$$

El punto final tiene coordenadas:

$$x = R\cos\left(2\pi\frac r R\right) \qquad y = R\sin\left(2\pi\frac r R\right)$$

Esto significa que la distancia a través de la superficie$d$es:

$$d = R\times 2\pi\frac r R=2\pi r$$

Ecuaciones de movimiento

Primero calculamos la distancia$\rho$del centro del planeta:

$$\rho^2 = x^2+y^2 \\ \rho^2 = 2r^2-2rR+R^2+2r(R-r)\cos\left(\frac R r\theta\right) \\ \rho^2 = R^2-2r(R-r)\left(1-\cos\left(\frac R r\theta\right)\right)$$

Luego calculamos la velocidad$v$en función de la tasa de cambio de$\theta$:

$$v^2 = \dot x^2 + \dot y^2 \\ v^2 = 2(R-r)^2\left(1-\cos\left(\frac Rr\theta\right)\right)\dot\theta^2$$

Podemos calcular la energía total del tren (por masa) como:

$$\frac{v^2}2 + \frac g{2R}\rho^2$$

Dónde$g$es la gravedad superficial del planeta. Conectando nuestras expresiones anteriores, agregando las condiciones iniciales$\theta=0,\ \dot\theta=0$, y resolviendo para$\dot\theta$Nos da:

$$\dot\theta = \sqrt{\frac{gr}{R(R-r)}}$$

Por lo tanto, el período de movimiento sobre un lazo es:

$$T = \frac{\Delta\theta}{\dot\theta} = 2\pi\frac rR\sqrt{\frac{R(R-r)}{gr}} = 2\pi\sqrt{\frac{(R-r)r}{gR}}$$

Para la Tierra, esto da como resultado una curva como esta:

Puedes ver que el tiempo llega a 42 minutos y 14 segundos para el caso límite de viajar al otro lado de la Tierra (donde la cicloide degenera a una línea recta). Podemos dividir la distancia por este tiempo para obtener una velocidad equivalente; es decir, qué tan rápido tendrías que dar la vuelta a la superficie para hacer el mismo tiempo:

En el caso a través de la Tierra, la velocidad alcanza$\sqrt{gR}$,$7.9~\text{km}/\text{s}$. Esto resulta ser lo mismo que la velocidad orbital, lo que significa que un satélite que roza la superficie llega al otro lado al mismo tiempo que un tren de gravedad en línea recta.

En el caso de un viaje de Nueva York a Los Ángeles ($d=3914~\text{km}$):

• La longitud de la pista es$4500~\text{km}$
• La profundidad máxima es$1250~\text{km}$
• La velocidad superficial equivalente es$2.6~\text{km}/\text{s}$
• La velocidad máxima es$4.7~\text{km}/\text{s}$
• La aceleración máxima es$1.8~g$
  • La aceleración es cero (caída libre) en ambos extremos y alcanza su punto máximo en el centro de la pista. El valor pico es$2~g$para una pista muy corta, y disminuye linealmente con la longitud para$0~g$(caída libre) para una pista a través de la Tierra.
• El radio$r/R$es sobre$0.098$, lo que significa que la imagen de la hipocicloide al principio es una aproximación bastante cercana a la forma de esta pista.

Problemas prácticos

• Tal túnel es imposible de construir, ya que ningún material conocido podría resistir el calor y la presión en el manto del planeta.
• Cualquier fricción con el aire o con el túnel ralentizará el tren y no podrá llegar al otro lado sin propulsión.

Suponiendo un radio terrestre de 6378 km, un arco de 4000 km representaría unos 36 grados de arco, por lo que la línea directa entre los puntos (es decir, la longitud del túnel) sería de unos 3935 km. Curiosamente, si asumes que la Tierra tiene una densidad uniforme (no es cierto en realidad, pero no es una horrible aproximación para esto), el tiempo de viaje del tren es el mismo entre dos puntos cualesquiera de la Tierra, unos 42 minutos . La velocidad máxima depende de los puntos, y se necesitaría un poco de física de la escuela secundaria para resolverlo (si alguien quiere agregarlo en los comentarios, lo incorporaré en la respuesta).

Editar: olvidé agregar que con los cálculos anteriores, el túnel se extendería unos 300 km debajo de la superficie, que es aproximadamente 10 veces el grosor de la corteza terrestre. También para aclarar, esto es muy inviable con las técnicas de ingeniería actuales. Las profundidades, las presiones concomitantes, la fricción y otros problemas significan que parece que estamos bastante lejos de lograrlo.

¡Se me ocurrió esta misma idea hace unos 20 años como un experimento mental e hice cálculos para llegar al tiempo de viaje de 42 minutos también!

Pero quiero señalar que el túnel no necesita ser una línea recta, especialmente porque viajaría más profundo que la corteza terrestre. Puede tener una caída de 1000 pies (en un ángulo no aterrador para los pasajeros) para alcanzar la velocidad y luego viajar "nivelado" durante la mayor parte de la distancia antes de acelerar al final.

Y para evitar el coeficiente de rodadura, recomiendo maglev.