¡Marte acaba de chocar con la Tierra! Una cuestión de excentricidad

La órbita de Kepler de la Tierra alrededor del Sol está determinada por dos constantes: la energía orbital específica $E$y el momento angular relativo específico $h$:

$$\begin{align} E &= \frac{1}{2}v_{r,\oplus}^2 + \frac{1}{2}v_{T,\oplus}^2 - \frac{\mu}{r}= -\frac{\mu}{2a},\\ h^2 &= r^2\,v^2_{T,\oplus} = \mu a(1-e^2), \end{align}$$ dónde $\mu = G(M_\odot + M_\oplus)$, $r$es la distancia Tierra-Sol (en el momento del impacto), $a$es el semieje mayor, $e$es la excentricidad orbital, $v_{r,\oplus}$es la velocidad orbital radial de la Tierra, y $v_{T,\oplus}$la velocidad tangencial. Ahora, suponga que un gran asteroide choca con la Tierra, con velocidad orbital $(v_{T,A},v_{r,A})$y masa $M_A$. Su velocidad relativa es entonces $$\begin{align} v_{T,A}' &= v_{T,A} - v_{T,\oplus},\\ v_{r,A}' &= v_{r,A} - v_{r,\oplus}. \end{align}$$ Podemos expresar estas velocidades relativas en términos de la velocidad de impacto total $v_\text{i}$y el ángulo de impacto $\theta$: $$\begin{align} v_{T,A}' &= v_\text{i}\cos\theta,\\ v_{r,A}' &= -v_\text{i}\sin\theta, \end{align}$$ donde definí $\theta$como en la Fig. 1 de este artículo . Entonces obtenemos $$\begin{align} v_{T,A} &= v_{T,\oplus} + v_\text{i}\cos\theta,\\ v_{r,A} &= v_{r,\oplus} - v_\text{i}\sin\theta. \end{align}$$ Si asumimos que la colisión es central, que la pérdida de calor es insignificante y que los escombros permanecen unidos gravitacionalmente a la Tierra, entonces la conservación de la cantidad de movimiento implica $$\begin{align} M_\oplus\,v_{T,\oplus} + M_A\,v_{T,A} &= (M_\oplus+M_A)u_{T,\oplus}\\ M_\oplus\,v_{r,\oplus} + M_A\,v_{r,A} &= (M_\oplus+M_A)u_{r,\oplus}, \end{align}$$ con $(u_{T,\oplus},u_{r,\oplus})$la nueva velocidad orbital de la Tierra (y los escombros ligados gravitacionalmente) después del impacto. Obtenemos $$\begin{align} u_{T,\oplus} &= v_{T,\oplus} + \frac{M_A}{M_\oplus+M_A}v_\text{i}\cos\theta,\\ u_{r,\oplus} &= v_{r,\oplus} - \frac{M_A}{M_\oplus+M_A}v_\text{i}\sin\theta. \end{align}$$ Entonces, la energía orbital y el momento angular habrán cambiado a $$\begin{align} E' &= \frac{1}{2}u_{r,\oplus}^2 + \frac{1}{2}u_{T,\oplus}^2 - \frac{\mu}{r}= -\frac{\mu}{2a'},\\ h'^2 &= r^2\,u^2_{T,\oplus} = \mu a'(1-e'^2). \end{align}$$ (el cambio en $\mu$es despreciable). Correcto, conectemos algunos números. Supongamos que partimos de una órbita circular, con un radio igual al semieje mayor actual: $$\begin{align} \mu &= 1.32712838\times 10^{11}\;\text{km}^3\,\text{s}^{-2},\\ r &= a = 1.49598261\times 10^{8}\;\text{km},\\ e &= 0. \end{align}$$ Para una órbita circular, se sigue que $$\begin{align} v_{T,\oplus} &= \sqrt{\frac{\mu}{r}}= 29.785\;\text{km}\,\text{s}^{-1},\\ v_{r,\oplus} &=0\;\text{km}\,\text{s}^{-1}. \end{align}$$ La velocidad de impacto de un asteroide siempre será al menos igual a la velocidad de escape de la Tierra. $11.2\,\text{km/s}$, que es la velocidad que toma cuando cae en el pozo de potencial gravitatorio de la Tierra. El artículo al que ya vinculé establece que las velocidades típicas de impacto de asteroides están en el rango de $12-20\,\text{km/s}$. En teoría, la velocidad del impacto puede ser tan grande como $72\,\text{km/s}$en el caso de una colisión frontal, cuando la Tierra y el asteroide tienen velocidades orbitales opuestas, por lo tanto, una velocidad relativa de ~ $60\,\text{km/s}$, aumentada con la velocidad de escape cuando el asteroide cae en nuestro pozo de potencial gravitatorio. Esto es muy poco probable para los asteroides, pero es posible para los cometas.

Entonces, supongamos una velocidad de impacto típica$v_\text{i}=16\,\text{km/s}$, una masa$M_A = 0.1M_\oplus$y un ángulo de impacto$\theta=45^\circ$. Encontramos

$$\begin{align} u_{T,\oplus} &= 30.813\;\text{km}\,\text{s}^{-1},\\ u_{r,\oplus} &= -1.0285\;\text{km}\,\text{s}^{-1},\\ E' &= -411.87\;\text{km}^2\,\text{s}^{-2},\\ h'^2 &= 2.1248\times 10^{19}\;\text{km}^4\,\text{s}^{-2},\\ a' = -\frac{\mu}{2E'} &= 1.61109\times 10^8\;\text{km},\\ e' = \big[1- h'^2/(\mu a')\big]^{1/2} &= 0.0788,\\ r_\text{p} = a'(1-e') &= 1.48411\times 10^8\;\text{km},\\ r_\text{a} = a'(1+e') &= 1.73807\times 10^8\;\text{km}, \end{align}$$ con $r_\text{p}$y $r_\text{a}$perihelio y afelio. Evidentemente, la influencia sobre la órbita de la Tierra es sustancial.

En el caso de una colisión directa desde atrás, obtenemos$\theta=0^\circ$,$v_\text{i}=11.2\,\text{km/s}$, de modo que

$$\begin{align} u_{T,\oplus} &= 30.803\;\text{km}\,\text{s}^{-1},\\ u_{r,\oplus} &= 0\;\text{km}\,\text{s}^{-1},\\ E' &= -412.72\;\text{km}^2\,\text{s}^{-2},\\ h'^2 &= 2.1234\times 10^{19}\;\text{km}^4\,\text{s}^{-2},\\ a' = -\frac{\mu}{2E'} &= 1.60778\times 10^8\;\text{km},\\ e' = \big[1- h'^2/(\mu a')\big]^{1/2} &= 0.0695,\\ r_\text{p} = a'(1-e') &= 1.49598\times 10^8\;\text{km},\\ r_\text{a} = a'(1+e') &= 1.71958\times 10^8\;\text{km}. \end{align}$$ Como era de esperar, el radio en el impacto se ha convertido en el perihelio y el cambio en la excentricidad es mínimo.

Y solo por diversión, probemos el peor de los casos:$\theta=180^\circ$,$v_\text{i}=72\,\text{km/s}$:

$$\begin{align} u_{T,\oplus} &= 23.239\;\text{km}\,\text{s}^{-1},\\ u_{r,\oplus} &= 0\;\text{km}\,\text{s}^{-1},\\ E' &= -617.10\;\text{km}^2\,\text{s}^{-2},\\ h'^2 &= 1.2086\times 10^{19}\;\text{km}^4\,\text{s}^{-2},\\ a' = -\frac{\mu}{2E'} &= 1.07530\times 10^8\;\text{km},\\ e' = \big[1- h'^2/(\mu a')\big]^{1/2} &= 0.391,\\ r_\text{p} = a'(1-e') &= 0.65462\times 10^8\;\text{km},\\ r_\text{a} = a'(1+e') &= 1.49598\times 10^8\;\text{km}, \end{align}$$ de modo que el radio en el impacto se ha convertido en el afelio y el cambio en la excentricidad es máximo. Aunque me pregunto cuánto quedaría de la Tierra después de un evento tan apocalíptico...

Si la colisión no es central, parte de la energía se transferirá a la rotación axial de la Tierra, lo que debería reducir el efecto en la órbita. Pero eso será más difícil de cuantificar.