Línea de transmisión: adaptación de impedancia característica

La coincidencia de impedancia es complicada, pero el papel de una línea de transmisión de cuarto de onda es mapear de una impedancia a otra. La impedancia real de la línea no coincidirá ni con la impedancia de entrada ni con la de salida; esto es totalmente esperado.

Sin embargo, a una frecuencia dada, cuando se inserta una línea de cuarto de onda correctamente diseñada con la impedancia correcta, la impedancia de salida aparecerá en la entrada como perfectamente coincidente. En su caso, el transformador hará el$20\Omega$impedancia parece como si fuera un$100\Omega$impedancia, lo que significa que no hay desajuste. Básicamente, guía las ondas de una impedancia característica a otra.

La forma más fácil de visualizar esto es en un gráfico de Smith, trace los dos puntos 0.4 ($20\Omega$) y 2 ($100\Omega$). Luego dibuje un círculo centrado en el eje resistivo/real (línea por el medio) que interseca ambos puntos. Encontrará que este punto está ubicado en 0.894 ($44.7\Omega$) si sus cálculos son correctos. Esto se muestra a continuación en$500\mathrm{MHz}$, pero la frecuencia solo es importante cuando se convierte la longitud eléctrica en una longitud física.

Lo que hace un transformador de cuarto de onda es rotar un punto dado por$180^\circ$alrededor de su impedancia característica en la carta de Smith (eso es$\lambda/4 = 90^\circ$adelante más$90^\circ$contrarrestar).

Exactamente por qué hace esto es complejo. Pero el resultado final de una larga derivación es que para una línea de transmisión de impedancia$Z_0$conectado a una carga de impedancia$Z_L$y con una longitud$l$, entonces la impedancia en la entrada viene dada por:

$$Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan\left(\beta l\right)}{Z_0+jZ_L\tan\left(\beta l\right)}$$

Esa es una ecuación fea, pero sucede si la longitud eléctrica$\beta l$es$\lambda/4$($90^\circ$), la$\tan$parte tiende al infinito, lo que permite simplificar la ecuación a:

$$Z_{in}=Z_0\frac{Z_0}{Z_L}=\frac{(Z_0)^2}{Z_L}\rightarrow Z_0=\sqrt{\left(Z_{in}Z_L\right)}$$

De ahí viene tu cálculo.

Con el transformador de cuarto de onda en su lugar, la carga parece coincidir con la fuente. En otras palabras, el transformador coincide con sus dos interfaces, no solo con el extremo de entrada.

También puede ver en esta ecuación por qué el transformador solo funciona para una sola frecuencia, porque depende de que la longitud física sea$\lambda/4$. De hecho, puede (generalmente usando herramientas de diseño avanzadas) lograr una coincidencia aproximada en un rango de frecuencias, básicamente una coincidencia lo suficientemente cercana pero no exacta.

Habrá un reflejo en el cruce entre las líneas 2 y 3. De hecho, tiene que haberlo para que esto funcione.

Lo que estás haciendo es elegir el$Z_0$de la línea 2 de modo que la reflexión en la transición 2/3 después de propagarse de nuevo a la unión 1/2 cancela exactamente la reflexión en la transición 1/2. Está configurando una interferencia destructiva para las ondas reflejadas y una interferencia constructiva para las ondas transmitidas.

Tenga en cuenta que debido a que la línea 2 debe tener una longitud de un cuarto de longitud de onda, esta técnica solo puede funcionar perfectamente en una frecuencia específica.