Lagrangiano de Yukawa Interacción y Mezcla de Quarks

De hecho, el Yukawa Lagrangiano es (más o menos) solo el término$\mathcal{L}_Y = -g \bar{\psi}\psi \phi$. El Lagrangiano de Dirac (sin masa) para fermiones y el Lagrangiano de Klein-Gordon (potencial positivo) para el Higgs no se muestran en su fórmula. La principal diferencia entre el Yukawa Lagrangiano y el más simple$-g \bar{\psi}\psi \phi$es que el Modelo Estándar tiene varios campos fermiónicos, los cuales están acoplados en este Lagrangiano.

El$h$matrices se denominan acoplamientos de Yukawa y son equivalentes a$g$arriba. Son matrices en lugar de números porque terminarás con términos como$-g \bar{s}d \phi$(más sobre eso más adelante).

Para entender la diferencia entre$\bar{q}_{aL}$y$\bar{u}_{aL}$hay que recordar que los fermiones zurdos vienen en dobletes de isospín . El campo de Higgs también es un doblete de isospin.

$$\phi =\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}\phi_1 + i \phi_2\\ \phi_0 +i\phi_3 \end{pmatrix}\ .$$ Después de la ruptura de simetría espontánea electrodébil, solo el $\phi_0$componentes tiene un valor distinto de cero en el vacío. Si reemplazamos en el Yukawa Lagrangiano por $d$-tipo quarks o leptones, obtenemos $$-\mathcal{L}_d = \sum_{a,b} h_{ab}^{(d)} \begin{pmatrix} \bar{u}_{aL} & \bar{d}_{aL} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \phi_0 \end{pmatrix} d_{bR} = \sum_{a,b} h_{ab}^{(d)} \phi_0 \bar{d}_{aL} d_{bR}\ .$$

Entonces, el hecho de que el campo de Higgs rompa la simetría de isospín selecciona solo el componente inferior ($T_3 = +\frac{1}{2}$) del doblete de isospín. Esto explica la masa de$d$-tipo quarks y leptones cargados.

Pero también necesita un término de masa para el$u$-tipo quarks. Este es el propósito del primer término en el Yukawa Lagrangiano, que es una especie de "versión transpuesta" de los otros dos términos. Aquí necesitas el campo de Higgs conjugado por carga$\hat{\phi}$. Este lagrangiano dice

$$-\mathcal{L}_u = \sum_{a,b} h_{ab}^{(u)} \begin{pmatrix} \bar{u}_{aL} & \bar{d}_{aL} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \phi_0 \\ 0 \end{pmatrix} u_{bR} = \sum_{a,b} h_{ab}^{(u)} \phi_0 \bar{u}_{aL} u_{bR}\ .$$

Para entender la razón de las matrices (no)-diagonales, tenga en cuenta que el Lagrangiano es invariante bajo transformaciones unitarias

$$u_R^i \to V^{ij}_{uR} u_R^j \qquad \qquad d_R^i \to V^{ij}_{dR} d_R^j\\ u_L^i \to V^{ij}_{uL} u_L^j \qquad \qquad d_L^i \to V^{ij}_{dL} d_L^j$$ puedes elegir estas matrices para diagonalizar las masas $$D^{u,d} = \frac{v}{\sqrt{2}} V_{u,d L} h^{(u,d)} V_{u,d R}^\dagger\ .$$

Pero cuatro matrices diferentes es una exageración. No puedes diagonalizar$h^{(u)}$y$h^{(d)}$simultáneamente, por lo que se opta por diagonalizar$u$-escriba quarks y gire el$d$-tipo quarks utilizando la matriz CKM . Esta elección es solo una convención, podría hacerse al revés.

El significado físico de esta mezcla de quarks es que cargados pueden conectar, con una pequeña probabilidad, quarks de diferentes generaciones. Puedes describirlo diciendo que los débiles$d'$quark es una superposición de$d$y$s$estados propios de la masa de los quarks, o decir que el débil$u'$quark es una superposición del$u$y$c$estados propios de masa de quarks; no hace ninguna diferencia.