¿La teoría de las ondas de Huygens no es aplicable a los láseres o haces de luz paralelos?

Esto está mal. Una amplia región (ancho$\gg\lambda$) de muchos emisores de ondas esféricas en fase distribuidos uniformemente, como el equivalente de Huygens de la sección transversal de un rayo láser, se comporta como un conjunto de antenas en fase, con el resultado de que la interferencia destructiva entre los emisores cancela la radiación que se desvía significativamente del rayo y refuerza la radiación a lo largo de la viga. Entonces, de hecho, obtienes haces arbitrariamente estrechos de la teoría de Huygens.

Lo que podría estar pensando es que esta teoría no funciona bien con un haz que se propaga unidireccionalmente . Si reemplazamos la sección transversal del rayo láser en fase con emisores esféricos, se irradia un rayo estrecho tanto hacia adelante como hacia atrás (por ejemplo, un conjunto de antenas en fase hace esto). Aquí es donde se debe recurrir a un factor de oblicuidad para restaurar la unidireccionalidad. La teoría de Fresnel-Huygens multiplica el patrón de radiación esférico por$\frac{1}{2}(1+\cos\theta)$, dónde$\theta$es el ángulo entre la dirección de propagación y la línea que une el centro del frente de onda de Huygens y el punto en cuestión.

Si observa la integral de difracción de Huygens-Fresnel en el enlace de Wikipedia anterior, considere la sección transversal del haz$B$en el$x-y$plano y luego también un punto$P$con coordenadas$(x, y, z)$en el campo lejano ( es decir , para que$R = \sqrt{z^2+y^2+z^2} \gg w$, dónde$w$es el ancho máximo de la sección transversal del haz, entonces una superposición de Huygens de emisores esféricos repartidos en$B$engendrará una perturbación en$P$de:

$$\int_B \frac{\exp\left(i\,k\,\sqrt{\left(x-x^\prime\right)^2+\left(y-y^\prime\right)^2+z^2}\right)}{\sqrt{\left(x-x^\prime\right)^2+\left(y-y^\prime\right)^2+z^2}}\,h\left(x^\prime,y^\prime\right)\,\mathrm{d}x^\prime\mathrm{d}y^\prime\approx$$ $$\frac{e^{i\,k\,R}}{R} \int_B \exp\left(-i \frac{k}{R}\left(x\,x^\prime+y\,y^\prime\right)\right)\,h\left(x^\prime,y^\prime\right)\,\mathrm{d}x^\prime\mathrm{d}y^\prime$$

dónde$h\left(x^\prime,y^\prime\right)$representa cualquier apodización y aberración del haz (variación de intensidad y fase, respectivamente) y simplemente he quitado el denominador de la integral: esto se justifica porque, como proporción de sí mismo,$\sqrt{\left(x-x^\prime\right)^2+\left(y-y^\prime\right)^2+z^2}$no varía mucho para$\left(x^\prime,y^\prime\right)\in B$como$R\rightarrow\infty$, pero, como número de longitudes de onda, varía mucho, por lo que debemos mantener el numerador. Así vemos dos resultados:

1. La expresión es simétrica en$z$, es decir , la misma perturbación se propaga hacia atrás que hacia adelante, por lo que el haz no se propaga unidireccionalmente. Esta es la razón por la cual Fresnel introdujo su factor de oblicuidad.$K(\chi)$eliminar la onda que se propaga hacia atrás;
2. La sección transversal del haz de campo lejano está dada por la transformada de Fourier de la sección transversal del haz en$B$, pero con un factor de escala$\frac{k}{R}$en el argumento de la transformada de Fourier, es decir , una vez que tengamos una distancia razonable de la sección transversal en$z=0$, la "forma" del haz proyectado no cambia; siempre es igual a una transformada de Fourier del haz en$z=0$, pero la misma forma se dilata por un factor proporcional a$R$.

Este esquema de difracción se llama difracción de Fraunhoffer . Entonces, el haz difractado se puede enfocar estrechamente en el campo lejano si la sección transversal en$z=0$es ancho A fuerza de la transformada de Fourier, existe una proporcionalidad inversa entre el ancho del haz en$z=0$y eso en el campo lejano. Este es exactamente el comportamiento de un rayo láser de alta calidad: siempre obtendrá una dilatación proporcional a$R$- la única forma de evitar esto es tener una onda plana de extensión infinita.

Para obtener algo de intuición del resultado, observe que la teoría anterior da, para la difracción del haz gaussiano definido por:

$$h\left(x^\prime,y^\prime\right) = \exp\left(-\frac{{x^\prime}^2+{y^\prime}^2}{2\sigma^2}\right)$$

el resultado difractado en el punto$P=(x,y,z)$:

$$\frac{e^{i\,k\,R}}{R} \int_B \exp\left(-i \frac{k}{R}\left(x\,x^\prime+y\,y^\prime\right)\right)\,h\left(x^\prime,y^\prime\right)\,\mathrm{d}x^\prime\mathrm{d}y^\prime = \frac{\sigma^2}{R} \exp\left(-\frac{k^2 \sigma ^2 \left(x^2+y^2\right)}{2 R^2}\right)$$