¿La reflexión interna total realmente refleja cada fotón?

Dado que las ecuaciones de Maxwell pueden considerarse como las ecuaciones de propagación para un estado de un fotón como analizo aquí , las respuestas clásicas y cuánticas son las mismas para el caso en el que tiene niveles bajos de luz, por lo que la probabilidad de interacción fotón-fotón es insignificante. pequeño. No me siento calificado para responder sobre el efecto de tal interacción.

Esto deja los dos mecanismos de pérdida en la situación clásica/de un fotón:

1. Túnel, o TIR frustrado, cuando el medio de bajo índice de refracción más allá de la interfaz reflectante tiene un grosor finito, y hay un medio más allá que no reflejaría totalmente internamente si estuviera en contacto directo con el primer medio;
2. El ancho finito de un haz significa que no es una onda plana, sino una superposición de las mismas. Una transformada de Fourier del campo transversal revelará que algunas ondas planas en esta superposición no sufren reflexión interna total.

Para el primer efecto, la capa reflectante totalmente interna debe ser delgada. No pude encontrar la solución a la reflexión interna total frustrada en ningún lugar de Internet, así que rápidamente derivé la fórmula para la potencia transmitida en términos del ángulo de incidencia.$\theta_1$, los índices de refracción$n_1,\,n_2,\,n_3$de la capa de incidencia, la capa reflectante y la capa más allá de eso, respectivamente y el espesor de la capa central$a$usando los métodos escalares de mi respuesta aquí . La probabilidad de transmisión de fotones considero que es:

$$\frac{4 n_1^2 \cos^2\theta_1 \left(n_1^2 \sin^2\theta_1-n_2^2\right)}{\sinh^2\left(\frac{4\,\pi\,a}{\lambda}\, \sqrt{n_1^2 \sin^2\theta_1-n_2^2}\right) \left(-n_1^2 \sin^2\theta_1+n_1 \cos \theta_1 \sqrt{n_3^2-n_1^2 \sin^2\theta_1}+n_2^2\right)^2+\left(n_1^2 \sin^2\theta_1-n_2^2\right) \left(\sqrt{n_3^2-n_1^2 \sin^2\theta_1}+n_1 \cos\theta_1\right)^2 \cosh^2\left(\frac{4\,\pi\,a}{\lambda}\, \sqrt{n_1^2 \sin^2\theta_1-n_2^2}\right)}$$

Como acabo de derivar esto yo mismo en cinco minutos en Mathematica, no hay garantías, pero de lo que estoy seguro es de que$\sinh$y$\cosh$términos en el denominador, es decir , la probabilidad de transmisión disminuye exponencialmente con el espesor de la capa reflectante, es decir , como$\exp\left(-\frac{4\,\pi\,a}{\lambda}\,\sqrt{n_1^2\,\sin\theta_1^2-n_2^2}\right)$, por lo que es una disminución bastante rápida.

Para calcular el efecto de 2., si se supone que el haz está fuertemente limitado en sus bordes, se obtiene un$\operatorname{sinc}$-tipo transformada de Fourier para la superposición de ondas planas. Entonces, uno puede calcular cuáles son los pesos de superposición de las ondas sesgadas en ángulos lo suficientemente grandes en relación con el ángulo nominal de incidencia para que no se sometan a TIR.