¿Cuál es la relación entre las representaciones de los Grupos de Lie y las Álgebras de Lie?

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¿Cuál es la relación entre las representaciones de los Grupos de Lie y las Álgebras de Lie?

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Oro

Si $G$ es un Lie Group, una representación de $G$ es un par $(\rho,V)$ dónde $V$ es un espacio vectorial y $\rho : G\to GL(V)$ es un homomorfismo de grupo.

Del mismo modo, si $\mathfrak{g}$ es un álgebra de mentira, una representación de $\mathfrak{g}$ es un homomorfismo de álgebra de mentira $\rho : \mathfrak{g}\to \mathfrak{gl}(V)$ al Álgebra de mentira de los endomorfismos.

Ahora bien, muchos libros de Física que tratan de la Teoría Cuántica de Campos relacionan inmediatamente las representaciones de los Grupos de Lie y las Álgebras de Lie sin citar el resultado que se está usando ni explicar cómo se usa realmente.

Esto es bastante común para encontrar las representaciones del grupo de Lorentz. $SO(1,3)$ en términos de elementos de su Lie Algebra.

Ahora que los físicos no aclaran esto en los libros, estoy preguntando aquí. ¿Cuál es realmente la relación entre las representaciones de los Grupos de Lie y las Álgebras de Lie que permite encontrar las representaciones del Grupo de Lie en términos de las representaciones del Álgebra de Lie?

Respuestas (2)

¿Cuál es la relación entre las representaciones de los Grupos de Lie y las Álgebras de Lie?

usuario321268 · Answer 1

Creo que la respuesta a su pregunta se da probablemente desde un punto de vista geométrico. Hay un hermoso teorema del propio Lie y generalmente se lo conoce como el tercer teorema de Lie , y establece algo que hoy en día se reformula de la siguiente manera (sobre los números complejos)

Teorema: Existe una equivalencia entre la categoría de grupos de Lie complejos simplemente conexos y la categoría de álgebras de Lie complejas.

El teorema anterior no es difícil de demostrar y lo que dice de hecho es que cualquier Lie Algebra compleja puede pensarse como el Lie Algebra de algún grupo de Lie. Piensa en un álgebra de mentira compleja $\mathfrak{g}$ , y obtener el grupo generado por $\{ exp(A) \thinspace | \thinspace A \in \mathfrak{g} \}$ , adentro $GL_n(\mathbf{C})$ ; con algunos supuestos topológicos razonables tales que admite una cubierta, tome su espacio de cubierta universal (por lo tanto, simplemente conectado). Entonces se puede dotar a esta nueva variedad de una estructura de grupo, por lo que se puede probar que este nuevo grupo de Lie tiene $\mathfrak{g}$ como su álgebra asociada.

Además, debido a la equivalencia obtienes una correspondencia

H o {metro}_{C} (gramo, {gramo yo}_{norte} (C)) = H o {metro}_{L i mi} (GRAMO, GRAMO L_{norte} (C)),

$Hom_{\mathbb{C}}(\mathfrak{g}, \mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})) = Hom_{\mathsf{Lie}}(G, GL_n(\mathbb{C})),$ por lo que las representaciones de una estructura corresponden a las representaciones de la otra.

¡Espero que lo anterior ayude! ¡Salud!

Gracias por la respuesta. Entiéndase que por diferenciación, si $\pi : G \to GL(V)$ es una representación de $G$ entonces $d\pi : \mathfrak{g}\to \mathfrak{gl}(V)$ es una representación del álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ . Entonces, una representación de grupo de Lie induce una representación de álgebra de Lie, y sabemos cómo construirla. Pero, ¿por qué lo contrario es cierto? Creo que necesitamos usar el mapa exponencial, pero no todos $G$ se reconstruye a partir del mapa exponencial si no me equivoco.
De nada, bueno, si entiendo correctamente su pregunta, entonces la respuesta es exactamente la equivalencia de categorías en la respuesta. La representación asociada de $\mathfrak{g}$ está en el grupo de Lie proporcionado por la equivalencia de categorías. Y por construcción se puede ver que significa el espacio de cobertura del grupo de Lie generado por el conjunto de $exp(A)$ . La otra dirección de la equivalencia viene dada por la diferenciación como usted señaló.
Lo que quiero decir es que si tienes una representación de un álgebra de mentira arbitraria $\mathfrak{g}$ , entonces el Lie Group asociado es un grupo muy específico construido por este Lie Algebra, y he delineado esta construcción en mi respuesta.

jose carlos santos · Answer 2

Cada representación lineal de dimensión finita de un grupo de Lie $G$ en un espacio vectorial $V$ induce una representación de su álgebra de Lie $\mathfrak g$ en $V$ . Si $X\in\mathfrak g$ y si $v\in V$ , definir

X . v = {\frac{d}{d t} Exp (t X) . v |}_{t = 0}

$X.v=\left.\frac{d}{dt}\exp(tX).v\right|_{t=0}$ Tenga en cuenta que no todas las representaciones de

g

$\mathfrak g$ se puede obtener mediante este proceso, aunque esto es realmente cierto si

G

$G$ resulta ser simplemente conectado.

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