La deducción de la fórmula Hill Sphere

La esfera de Hill se define de forma ligeramente diferente al lóbulo de Roche, pero el radio se aproxima por la distancia a los puntos de Lagrange L ₁ y L ₂ .

Para movimiento circular con velocidad angular$\omega$alrededor del origen, tenemos:

$$\ddot{\mathbf{r}} = - \omega^2 \mathbf{r}$$

La aceleración debida a la gravedad de una masa puntual sobre otra masa en la posición$\mathbf{r}$viene dada por la ley del cuadrado inverso usual:

$$\ddot{\mathbf{r}} = -\frac{Gm}{\left\|\mathbf{r}\right\|^2}\hat{\mathbf{r}}$$

Ahora considere un sistema de dos cuerpos con masas$m_1$y$m_2$, separados por una distancia$r$orbitando su centro de masa común (com) a distancias$r_1$y$r_2$respectivamente.

Este es un sistema unidimensional, por lo que podemos cambiar de vectores a escalares. De la definición del centro de masa, tenemos:

$$r_1 = \left(\frac{m_2}{m_1 + m_2}\right) r$$ $$r_2 = \left(\frac{m_1}{m_1 + m_2}\right) r$$

Para la órbita de$m_2$alrededor del centro de masa, equiparando la aceleración gravitacional con la aceleración requerida para el movimiento circular da:

$$\omega^2 r_2 = \frac{G m_1}{r^2}$$

Y luego expresar$r_2$en términos de$r_1$da la Tercera Ley de Kepler:

$$\omega^2 = \frac{G\left(m_1 + m_2\right)}{r^3}$$

Luego encontramos la distancia al punto L ₁ , donde las fuerzas gravitatorias del primario y secundario se combinan para proporcionar la aceleración requerida para el movimiento circular. Igualando la aceleración del movimiento circular con las fuerzas gravitatorias se obtiene:

$$\omega^2 \left(r_2 - h\right) = \frac{G m_1}{\left(r - h\right)^2} - \frac{G m_2}{h^2}$$

y sustituyendo$\omega$resultados en:

$$\frac{\left(m_1 + m_2\right)\left(r_2 - h\right)}{r^3} = \frac{m_1}{\left(r - h\right)^2} - \frac{m_2}{h^2}$$

Luego reescribe esto en términos de la razón de masa$q = \frac{m_2}{m_1}$y la distancia relativa$z = \frac{h}{r}$, donación:

$$1 - z\left(1 + q\right) = \left(1 - z\right)^{-2} - qz^{-2}$$

Esto da como resultado una ecuación quíntica para$z$, que debe resolverse numéricamente ya que las quínticas generales no tienen soluciones algebraicas (no voy a pretender entender la prueba de esto ).

Siempre que estemos en una situación en la que$m_1 \gg m_2$, que es una buena aproximación para los planetas del Sistema Solar, podemos hacer aproximaciones para evitar resolver la quíntica. En este caso, la esfera de Hill es mucho más pequeña que la separación entre los dos objetos, lo que significa que podemos aproximarnos a:

$$\begin{aligned} 1 + q &\approx 1 \\ \left(1 - z\right)^{-2} &\approx 1 + 2z \end{aligned}$$

Donde la segunda línea es la aproximación binomial . Esto da:

$$1 - z \approx 1 + 2z - qz^{-2}$$

Reorganizar para resolver$z$:

$$z^3 \approx \frac{q}{3}$$

Y luego usando las definiciones de$z$y$q$esto se convierte

$$h \approx r \left(\frac{m_2}{3 m_1}\right)^{1/3}$$

Cuál es la fórmula usual para el tamaño de la esfera de Hill.

---

Para L ₂ , el punto de Lagrange se ubica más allá del secundario, por lo que la ecuación de la fuerza gravitacional y el movimiento circular se convierte en:

$$\omega^2 \left(r_2 + h'\right) = \frac{G m_1}{\left(r + h'\right)^2} + \frac{G m_2}{h'^2}$$

Donde$h'$es la distancia del secundario al punto L ₂ .

Sustituir en$\omega$y reescribiendo en términos de$q$y$z' = \frac{h'}{r}$da:

$$1 + z'\left(1 + q\right) = \left(1 + z'\right)^{-2} + qz'^{-2}$$

Nuevamente esto da una ecuación quíntica para$z'$, pero podemos hacer aproximaciones similares al caso de L ₁ :

$$\begin{aligned} 1 + q &\approx 1 \\ \left(1 + z'\right)^{-2} &\approx 1 - 2z' \end{aligned}$$

Esto da:

$$1 + z' \approx 1 - 2z' + qz'^{-2}$$

Simplificando y reemplazando las variables de nuevo:

$$h' \approx r\left(\frac{m_2}{3m_1}\right)^{1/3}$$

---

Esto funciona para órbitas circulares. Para órbitas excéntricas, el enfoque habitual es simplemente reemplazar la distancia$r$con la distancia del pericentro$a\left(1 - e\right)$donde$a$es el semieje mayor. Un enfoque más riguroso sería usar la velocidad angular en el pericentro y derivar de allí, pero lo dejaré como ejercicio para el lector interesado :-)

La esfera de Hill lleva el nombre de John William Hill (1812–1879) y su lógica simple se deriva de la presencia de tres cuerpos (supongamos que el Sol es la masa más grande con la Tierra como masa secundaria y un satélite de masa insignificante que orbita la Tierra como el tercero). masa), donde el radio de la esfera de Hill será el radio más grande en el que un satélite podría orbitar la masa secundaria (la Tierra en este caso). Si su órbita excede el radio de Hills, entonces caerá bajo la influencia gravitacional del primer cuerpo (el sol) y, por lo tanto, ya no será un satélite del cuerpo secundario.

Uno podría escribir las ecuaciones de Newton usando la idea de que el satélite tiene la misma velocidad angular que el objeto secundario. Es decir, la velocidad angular de la Tierra alrededor del sol es igual a la velocidad angular del satélite alrededor del sol. En el siguiente enlace se da una demostración de la derivación y del límite de Roche:

http://www.jgiesen.de/astro/stars/roche.htm