Invariancia galileana en electromagnetismo

En última instancia, la explicación, como dijiste, requiere que invoquemos la relatividad especial. Sin embargo, esta explicación puede ser opaca al principio, por lo que agregaré una interpretación física después de esbozar el cálculo de SR.

Los campos eléctrico y magnético forman componentes de un tensor bidimensional ,$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$, dónde$A_\mu$es un cuatro vector$^\star$cuyas componentes vienen dadas por los potenciales escalares y vectoriales normales:$A_0=\phi$y$A_i$son las componentes del potencial vectorial$\vec{A}$, en unidades donde$c=1$.

La razón para mencionar esto es que no tiene sentido decir que solo tienes un campo magnético en dos marcos diferentes. En uno de los dos marcos que mencionaste, debes tener un campo eléctrico. Esto es consecuencia de las leyes de transformación.

$$\begin{eqnarray} \vec{E}'_{||} &=& \vec{E}_{||} \\ \vec{B}'_{||} &=& \vec{B}_{||} \\ \vec{E}'_{\perp} &=& \gamma (\vec{E}_{\perp} + \vec{v} \times \vec{B}_\perp )\\ \vec{B}'_{||} &=& \gamma (\vec{B}_{\perp} - \vec{v} \times \vec{E}_\perp ) \end{eqnarray}$$ donde las cantidades primadas se evalúan en el marco potenciado y no primadas en el marco original,$\gamma=\sqrt{1-v^2}$es el factor de Lorentz habitual,$\vec{B}_{||}$se refiere a los componentes de$\vec{B}$paralela a la velocidad del impulso,$\vec{B}_\perp$se refiere a la componente del campo magnético perpendicular a la velocidad, he hecho las mismas definiciones para el campo eléctrico y, como recordatorio, he puesto$c=1$.

Así que ahora aplicamos estas fórmulas. Supongamos que en el marco original, el anillo se mueve en el$x$dirección, y el campo es puramente magnético y el campo magnético apunta en el$z$dirección. Entonces la fuerza de Lorentz$\vec{F}\propto \vec{v}\times \vec{B}$apuntará en el$y$dirección. Luego, en el marco de reposo del anillo, encontramos que debe haber un campo eléctrico con una$y$componente dado por

$$\begin{equation} E_y' = - \gamma v_x B_z \end{equation}$$ Este campo eléctrico proporciona la fuerza en el$y$dirección que le preocupaba.

Está bien, pero esto no responde exactamente a la pregunta de ¿de dónde viene esta fuerza eléctrica? La respuesta es que ha hecho una idealización al considerar un campo magnético infinitamente grande y, al hacerlo, ha perdido la pista de lo que está generando el campo magnético en primer lugar. Evidentemente, debe haber algunas corrientes "en el infinito", pero ninguna carga neta porque no hay campo eléctrico. Debe tener en cuenta la contracción de la longitud cuando aplica el impulso, que tenderá a crear una densidad de carga neta, siguiendo un análisis presente en (por ejemplo) el libro de Purcell.

Dicho todo esto, lo que sucederá en este caso es que las cargas negativas tenderán a "amontonarse" en el máximo y a "agotarse" en el mínimo del anillo a lo largo del$y$dirección. Esta separación de carga proporcionará una fuerza contraeléctrica que se opondrá y eventualmente detendrá cualquier corriente. Entonces no hay corriente cuando el anillo alcanza el equilibrio. Esta puede ser una razón por la cual este caso no suele estudiarse explícitamente.

Einstein consideró un problema relacionado como motivación para la relatividad especial. No consideró el problema de un campo magnético constante en todo el espacio, sino un conductor finito que genera el campo magnético que podría generar una corriente constante por inducción. Le molestaba el hecho de que en diferentes marcos hubiera diferentes explicaciones de por qué había una corriente (fem de movimiento frente a la fuerza de Lorentz), y afirma que su motivación para desarrollar la relatividad especial en su artículo clásico de 1905 es dar una explicación más profunda que funcione en cualquier marco de referencia inercial.

$^\star$bueno, si tiene cuidado con la invariancia de calibre,$A_\mu$no es realmente un vector 4, pero ignoremos esto.