Introducción suave a los twistores

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Introducción suave a los twistores

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Dilatón

Cuando leo sobre el levantamiento de twistor o intento seguir una charla de Nima correspondiente, siempre me molesta que no tengo ni idea de cómo funciona el espacio de twistor, el formalismo de twistor o la teoría de twistor. En primer lugar, ¿son estos tres términos algún tipo de sinónimos o cuál es la relación entre ellos? Los twistores son solo una profunda brecha negra en mi educación.

He leído El Camino a la Realidad , pero simplemente no lo entendí del capítulo correspondiente, tal vez porque tampoco pude entender mejor los uno o dos capítulos que lo preceden... :-/

Entonces, ¿alguien puede señalarme una fuente suave, pero ligeramente técnica, que explique los twistores paso a paso (similar a un libro desmitificado ...) de modo que incluso yo pueda entenderlo, si existe algo como esto? Ya que creo que realmente tendría que "meditar" al respecto un poco, preferiría algo escrito que pueda imprimir, pero de todos modos apreciaría conferencias en video o charlas también.

Respuestas (3)

Introducción suave a los twistores

twistor59 · Answer 1

:-) La mejor introducción suave a la teoría básica del twistor que conozco es el libro de Huggett y Tod

Si no tiene acceso a ese libro y algunas otras respuestas no aparecen mientras tanto, me complace escribir algunos fragmentos aquí, pero tendré que esperar hasta el fin de semana. (Puede que sea parcial, pero creo que vale la pena aprenderlo, ya que las aplicaciones de amplitud de MHV son extremadamente interesantes).

Editar: aquí hay algunos párrafos para dar una idea de la teoría del twistor:

La teoría del twistor hace un uso extensivo de los espinores de Weyl , que forman representaciones de $SL(2;\mathbb{C})$ - la doble cobertura del grupo (restringido) Lorentz. Estos vienen en dos variedades: espinores sin imprimar $\omega_A$ transformándose según la representación fundamental, y espinores primos $\omega_{A’}$ transformándose según la representación conjugada. (Tenga en cuenta que en gran parte de la literatura moderna, imprimados y no imprimados se indican con puntos $\lambda_{\dot{a}}$ y sin puntos). Los índices de espinor aumentan y disminuyen utilizando el espinor antisimétrico

ϵ_{A B} = ϵ_{A^{'} B^{'}} = ϵ^{A B} = ϵ^{A^{'} B^{'}} = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array})

$\epsilon_{AB}=\epsilon_{A’B’}=\epsilon^{AB}= \epsilon^{A’B’} = \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right)$ Vectores del espacio de Minkowski

x^{a}

$x^a$ se puede poner en correspondencia con espinores imprimados / imprimados de dos índices escribiendo

X^{A A^{'}} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{array}{cc} X^{0} + X^{1} & X^{2} + i X^{3} \\ X^{2} - i X^{3} & X^{0} - X^{1} \end{array})

$x^{AA’} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} x^0+x^1 & x^2+ix^3 \\ x^2-ix^3 & x^0-x^1 \end{array} \right)$ Ahora bien, si tomamos un par de espinores primados/no primados

(ω^{A}, π_{A^{'}})

$(\omega^A, \pi_{A’})$ , entonces el conjunto de vectores de Minkowski que satisfacen

ω^{A} = i X^{A A^{'}} π_{A^{'}} (1)

$\omega^A=ix^{AA’}\pi_{A’} \ \ \ (1)$ es una línea nula en el espacio de Minkowski siempre que impongamos la condición de realidad

ω^{A} {\bar{π}}_{A} + {\bar{ω}}^{A^{'}} π_{A^{'}} = 0

$\omega^A{\bar{\pi}}_{A}+{\bar{\omega}}^{A’}\pi_{A’}=0$ El par de espinores se conoce como twistor.

Z^{α} = (ω^{A}, π_{A^{'}})

$Z^{\alpha} = (\omega^A, \pi_{A’})$ . El espacio de tales objetos de cuatro componentes es el "espacio twistor"

T

$\mathbb{T}$ , sobre la cual definimos una forma hermitiana a través de la operación de conjugación

{\bar{Z}}_{0} = \bar{Z^{2}} = {\bar{π}}_{0}

${\bar{Z}}_0 = \bar{Z^2} = {\bar{\pi}}_0$

{\bar{Z}}_{1} = \bar{Z^{3}} = {\bar{π}}_{1}

${\bar{Z}}_1 = \bar{Z^3} = {\bar{\pi}}_1$

{\bar{Z}}_{2} = \bar{Z^{0}} = {\bar{ω}}^{0^{'}}

${\bar{Z}}_2 = \bar{Z^0} = {\bar{\omega}}^{0’}$

{\bar{Z}}_{3} = \bar{Z^{1}} = {\bar{ω}}^{1^{'}}

${\bar{Z}}_3 = \bar{Z^1} = {\bar{\omega}}^{1’}$

La condición de realidad anterior es entonces expresable como $Z^{\alpha}{\bar{Z}}_{\alpha}=0$ y los twistores que satisfacen esta condición se denominan twistors nulos.

El lugar geométrico de los puntos en el espacio de Minkowski que satisfacen (1) no cambia si multiplicamos el twistor $Z^{\alpha}{\bar{Z}}_{\alpha}=0$ por cualquier número complejo distinto de cero. De hecho, resulta extremadamente útil imponer esto como una relación de equivalencia en $\mathbb{T}$ y trabajar con su versión proyectiva $P\mathbb{T}$ . Los twistores nulos proyectivos, entonces, corresponden a los rayos de luz en el espacio de Minkowski. La correspondencia entre el espacio twistor (proyectivo) y el espacio de Minkowski se hace más completa si adjuntamos al espacio de Minkowski su límite conforme (cono de luz en el infinito) y si lo complejizamos. Entonces estamos tratando con un espacio de Minkowski complejizado y compactado. $\mathbb{C}M$ y twistors (siempre nos referiremos a twistors proyectivos) corresponden a dos planos totalmente nulos (llamados planos alfa) en $\mathbb{C}M$ . Los planos alfa correspondientes a twistores nulos (tales objetos viven en un subespacio de $P\mathbb{T}$ llamó $PN$ ) cortará la porción real de $\mathbb{C}M$ en rayos nulos.

Por el contrario, un punto x en el espacio real de Minkowski define un conjunto de rayos nulos, los que definen el cono nulo en ese punto. Hay el valor de dos esferas de tales rayos (la esfera celeste), y el conjunto de twistores que definen estos rayos define un subconjunto de $PN$ tener la topología de dos esferas, pero lo que es más importante, tener la estructura compleja de una $\mathbb{C}P^1$ , y conocida como línea proyectiva (o simplemente "línea"). La figura 1 muestra un punto x en el espacio de Minkowski y la línea correspondiente $L_x$ en $PN$ , y también un par de twistores $Z$ y $W$ en $L_x$ y los rayos nulos $\gamma_Z$ y $\gamma_W$ corresponden a.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Ahora la diversión comienza cuando consideras las funciones en el espacio twistor. Supongamos que consideramos una función homogénea de grado cero (es decir $f(\lambda Z^{\alpha}) = f(Z^{\alpha}); \lambda \in \mathbb{C}^*$ ). Luego definimos el campo en el espacio-tiempo:

ϕ_{A B} (X) = \oint ρ_{X} (\frac{\partial}{\partial ω^{A}} \frac{\partial}{\partial ω^{B}} F (ω^{A}, π_{A^{'}})) π_{C^{'}} d π^{C^{'}}

$\phi_{AB}(x) = \oint{\rho_x(\frac{\partial}{\partial \omega^A} \frac{\partial}{\partial \omega^B}f(\omega^A, \pi_{A’}))\pi_{C’}d\pi^{C’}}$ donde

ρ_{x}

$\rho_x$ significa “imponer la restricción (1)”. Para obtener un campo no trivial, la función f debe tener singularidades en el espacio twistor, es decir, no debe ser holomorfa en todas partes. Por ejemplo, puede tener postes. El contorno utilizado está en la línea proyectiva.

L_{x}

$L_x$ y evita las singularidades de f.
ingrese la descripción de la imagen aquí

El campo así definido satisface

\nabla^{A A^{'}} ϕ_{A B} = 0 (2)

$\nabla^{AA'} \phi_{AB} = 0 \ \ \ (2)$ Donde

\nabla_{A A^{'}} = \frac{\partial}{\partial X^{A A^{'}}}

$\nabla_{AA’} = \frac{\partial}{\partial x^{AA’}}$ Podemos descomponer un tensor de campo electromagnético antisimétrico en sus partes anti-auto-dual y auto-dual respectivamente como

F_{a b} = F_{A A^{'} B B^{'}} = ϕ_{A B} ϵ_{A^{'} B^{'}} + {\tilde{ϕ}}_{A^{'} B^{'}} ϵ_{A B}

$F_{ab} = F_{AA'BB'} = \phi_{AB}\epsilon_{A'B'} +{\tilde{\phi}}_{A'B'}\epsilon_{AB}$ Entonces (2) representa las ecuaciones de Maxwell (fuente libre) (para campos de Maxwell anti-auto-dual). La correspondencia entre las funciones twistor y las soluciones anti-auto-dual de las ecuaciones de Maxwell no es única. Sin embargo, tratar las funciones del twistor como representantes de ciertas clases de cohomología de haces da una correspondencia única.

La elección de funciones twistor con otras homogeneidades da lugar a otros tipos de campo (espinores simétricos con otros números de índices primos o no primos que satisfacen ecuaciones similares a (2)). Por ejemplo, las ecuaciones para campos de Maxwell auto duales

\nabla^{A A^{'}} ϕ_{A^{'} B^{'}} = 0

$\nabla^{AA'} \phi_{A’B’} = 0$ están dadas por una integral de contorno (ligeramente diferente) que involucra funciones twistor de homogeneidad -4:

ϕ_{A^{'} B^{'}} (X) = \oint ρ_{X} (π_{A^{'}} π_{B^{'}} F (ω^{D}, π_{D^{'}})) π_{C^{'}} d π^{C^{'}}

$\phi_{A'B'}(x) = \oint{\rho_x(\pi_{A'}\pi_{B'}f(\omega^D, \pi_{D'}))\pi_{C'}d\pi^{C'}}$

Existen otras formas de usar la correspondencia twistor, por ejemplo, se puede establecer una correspondencia para campos en un espacio real con firma euclidiana. Este programa condujo a la construcción de soluciones auto duales de las ecuaciones de Yang Mills en $S^4$ (la compactación de $\mathbb{R}^4$ ). En este caso, la correspondencia es entre los campos auto duales de Yang Mills en $S^4$ y paquetes holomórficos en el espacio twistor que son (holomórficamente) triviales en las líneas proyectivas en el espacio twistor (y que tienen varias otras condiciones según el grupo de estructura de la teoría de Yang Mills que le interese).

Tanto el espacio de twistor como el espacio de Minkowski se pueden "engrosar" agregando coordenadas Grassmannianas y, de esta manera, se pueden dar versiones supersimétricas de las correspondencias de twistor del tipo ilustrado anteriormente. Esto se ha utilizado en el tratamiento de la teoría supersimétrica de Yang Mills.

Hola Twistor :-))), muchas gracias. De lejos el libro se ve muy bien y parece contener muchas cosas que siempre quise saber y que me resultaran bastante accesibles :-). Le agradecería si pudiera escribir más información más detallada a medida que encuentre tiempo para ello. Salud
Acepto esta respuesta porque creo que es más fácil para mí comenzar con este libro antes de leer las notas de clase de Nair.
@Dilaton Sí, creo que es un espacio más fácil para comenzar. Aunque he visto el trabajo de Nair, no había visto antes ese conjunto de notas, identificado por David. Probablemente sea una buena idea tener una idea de los twistores "convencionales" antes de pasar a sus versiones supersimétricas.
Estimado @twistor59, gracias por extender esta respuesta a una introducción tan agradable y un primer resumen. Por supuesto, con solo leerlo una vez no entiendo todo en detalle, pero me da una primera idea de qué son los twistores y cómo se aplican. Entonces, ¿los índices con prima son lo mismo que los índices con puntos que se aplican en SUSY, por ejemplo? El significado de la barra en la condición de realidad me confunde un poco ya que en este bloque los espinores con índices punteados a menudo están desnudos (si no recuerdo mal)...
@Dilaton: por ejemplo, puede ver el anticonmutador de dos supercargas escrito con índices punteados como $\{Q_{\alpha},{\bar{Q}}_{\dot{\alpha}}\} = 2\sigma^{\mu}_{\alpha \dot{\alpha}}P_{\mu}$ Esto, en la notación de esta publicación, se escribiría $\{Q_A, {\bar{Q}}_{A'}\} = 2\sigma^{\mu}_{AA'}P_{\mu}$
En algunas circunstancias, las personas usan un espinor etiquetado con un símbolo barrado para significar una entidad independiente del espinor sin barra, y en algunas circunstancias usan el espinor barrado para significar el conjugado del espinor sin barra, si es el primero, la mayoría de los autores afirmarán esto explícitamente. La aplicación de la conjugación convierte el índice de espinor sin puntos -> con puntos o viceversa.

David Bar Moshé · Answer 2

Me gustaría recomendarles las siguientes notas de la conferencia de VP Nair. Estas notas de clase contienen un capítulo muy conciso sobre los twistores, su relación con las ecuaciones de onda sin masa y su uso en la construcción de las amplitudes de Yang-Mills. La importancia de este trabajo para mí es que, aquí, Nair conecta estas dos aplicaciones con otra (quizás menos famosa) aplicación de twistores en la teoría de la cuantización en variedades geométricamente no triviales (como el problema de cuantización de una partícula que se mueve en los dos esfera en presencia de un monoplo).

Gracias, esto parece explicar las cosas que finalmente quiero saber... :-)

solo aprendiendo · Answer 3

Además, vea las conferencias de Maciej Dunajski

Teoría del Twistor y Ecuaciones Diferenciales

(también hay diapositivas disponibles)

y su libro

Solitones, Instantons y Twistors

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