¿Hay necesariamente siempre al menos dos puntos donde el campo magnético de la Tierra es vertical?

Al ver esta declaración en esta respuesta

Hay al menos dos puntos en la Tierra donde el campo magnético del planeta no es horizontal, sino vertical.

me tiene pensando. No pretendo citarlo fuera de contexto, lo estoy usando como un trampolín para una situación diferente.

Para un modelo armónico esférico realista del campo de la Tierra (por ejemplo , el Modelo Magnético Mundial de grado y orden 12 ), ¿es una necesidad matemática que haya dos puntos en una aproximación esférica de la superficie de la Tierra donde la dirección del campo es normal a la ¿esfera?

¿Qué pasaría si se eligiera una superficie elipsoidal para reflejar mejor la forma de la superficie de la Tierra? ¿Habría todavía al menos dos puntos que fueran normales?

nota: no estoy usando la palabra "vertical" en la declaración ampliada de la pregunta, ya que entonces requeriría un segundo modelo del geopotencial, y luego diferentes personas elegirían de manera diferente si se incluyera un término que refleje un pseudo potencial que refleje la rotación o no en la definición de "vertical".

a continuación: "Geodinamo entre reversiones", de aquí para ilustrar que la fuente del campo de la superficie de la Tierra es algo que no debe considerarse como un simple dipolo.

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También se podría preguntar: ¿Debe haber necesariamente un punto en el que el B -el vector de campo está dirigido hacia arriba (el ángulo con la superficie normal que apunta hacia el exterior es cero), y un punto donde el B -el vector de campo apunta hacia abajo (el ángulo con la superficie exterior normal es de 180 grados o π )?
Otra pregunta que podríamos hacernos es ¿Hay necesariamente siempre como máximo dos puntos donde el campo magnético de la Tierra es vertical? Como ejemplo, el Polo Norte Magnético de Wikipedia afirma: "El Polo Norte Magnético es el punto en la superficie del Hemisferio Norte de la Tierra en el que el campo magnético del planeta apunta verticalmente hacia abajo (en otras palabras, si se permite que la aguja de una brújula magnética gire alrededor de un eje horizontal, apuntará directamente hacia abajo). Solo hay un lugar donde esto ocurre, ..." ¿Por qué diablos (!) hay solo uno?
@JeppeStigNielsen, puede considerar publicar sus preguntas como preguntas de intercambio de pila adecuadas, en lugar de como comentarios debajo de mi pregunta. De esa manera usted puede recibir algunos comentarios sobre sus pensamientos.
Yo lo hice. Por cierto, su pregunta está algo relacionada con ¿Debe toda configuración magnética tener un polo norte y un polo sur? .
Si asume que el campo se debe a dipolos magnéticos ubicados a más de (digamos) 1 metro debajo de la superficie, entonces la situación mencionada por @ACuriousMind no puede ocurrir. La pregunta de los "dos ceros" es entonces una pregunta matemática bien definida: puede hacerla en math.SE.

Respuestas (1)

Su pregunta está relacionada con el teorema de la bola peluda , que establece que todo campo vectorial tangente continuo definido en una esfera debe tener un cero. Consideremos la parte tangente del campo magnético, B T : según el teorema anterior, existe un punto en la Tierra donde B T = 0 , o en otras palabras, hay un punto en la Tierra donde el campo magnético es normal a la superficie de la Tierra.

Acabamos de obtener un punto solitario donde el campo geomagnético es normal, pero ¿por qué debería haber un segundo punto donde se cumple esta propiedad? Aquí entra en juego la simetría de la Tierra: el campo geomagnético es aproximadamente simétrico alrededor del plano del ecuador (ligeramente girado para coincidir con la inclinación de los polos magnéticos), y aquí el campo magnético es casi tangente, por lo que el primer cero no puede estar en este avión. Así, el punto simétrico de nuestro primer punto es otro punto donde el campo geomagnético es normal a la Tierra.

Si cambiáramos el modelo de la superficie de la Tierra, el resultado seguiría siendo el mismo: de hecho, el teorema de la bola peluda se puede demostrar para formas similares desde un punto de vista topológico a una esfera.

Nótese que en el segundo párrafo usé un argumento físico en lugar de uno puramente matemático: de hecho, el resultado no es verdadero en el caso general. Uno puede encontrar un campo vectorial continuo que es vertical en una esfera en un solo punto, consulte esta pregunta en Math.SE, por ejemplo. Así, en términos generales, el campo geomagnético podría ser vertical en un solo punto.

La afirmación de que hay dos ceros del campo magnético no se sigue del teorema de la bola peluda y, de hecho, en general es falsa si la única restricción es que estamos considerando un campo en una esfera. Coloque un dipolo infinitesimal en la esfera: el campo resultante tiene solo un cero, es decir, en la ubicación del dipolo, cf. este gráfico en Wikipedia . Si la declaración en la pregunta es verdadera, entonces tiene que ver con las propiedades especiales del campo magnético terrestre, y no solo con el teorema de la bola peluda.
¡Tienes toda la razón! Y, como dijiste, utilicé una propiedad especial del campo geomagnético que es su simetría.
@Spirine lo siento, solo quiero verificar que la respuesta real es el primer párrafo y que la discusión física en el segundo párrafo vuelve a un problema diferente y simplificado donde hay una simetría que en realidad no existe en la pregunta? ¡La distinción entre los dos es la motivación de mi pregunta! Usted sabe que incluso un campo dipolar tendría que estar desplazado desde el centro de la Tierra para obtener el mejor ajuste al campo. Ver esta respuesta y Anomalía del Atlántico Sur .
Matemáticamente creo que puedes probar esto usando el Teorema del Valor Intermedio si hay un punto donde la dirección apunta "hacia abajo" y otro donde está "hacia arriba", y es continuo y diferenciable, entonces debe pasar por la horizontal.
@davidsheldon El teorema del valor intermedio no funciona de esa manera para las funciones con valores vectoriales.
@Spirine, entonces su respuesta a mi pregunta " ¿Hay necesariamente siempre al menos dos puntos donde el campo magnético de la Tierra es vertical? " ¿Es Sí o No? ¿Bajo qué condiciones sólo UN punto sería matemáticamente posible? Imagínese durante una inversión de polos donde el término dipolo se vuelve muy pequeño y luego pasa por cero. En ese punto, ¿quizás no necesariamente tiene que haber DOS?
Solo respondí su pregunta en un caso simétrico simplificado, pero honestamente no sé si el resultado es cierto en algún caso: ¡debe hacer su pregunta en Math.SE, ya que ya no es una pregunta de física!
@uhoh Aparentemente, la pregunta ya se hizo en Math.SE: el campo geomagnético podría ser vertical en un solo punto.
+n!¡Excelente! Gracias por hacer un esfuerzo adicional en esta respuesta y también por vincular a la respuesta matemática SE. Realmente aprecio tu ayuda.
Estrictamente hablando, en el punto donde el vector tangente es cero, la componente normal también podría ser cero.
Un vector normal se define como un vector con un componente tangente nulo. Así, en particular, ¡el vector nulo es un vector normal a toda superficie!
¿Hay necesariamente siempre al menos dos puntos donde el campo magnético de la Tierra es vertical?
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