¿Hay alguna ecuación para vincular la velocidad, el empuje y la potencia?

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¿Hay alguna ecuación para vincular la velocidad, el empuje y la potencia?

arrastrar
velocidad aerodinámica
Aviación
hélice
aerodinámica

Mateo Monti

Estoy diseñando un dirigible a control remoto. Lo afinaré para que la sustentación dada por el Principio de Arquímedes equilibre exactamente el peso de toda la estructura. Será propulsado por motores sin escobillas con hélices en ellos.

Por lo que he entendido, para alguna velocidad dada $v$ la fuerza de arrastre $D$ vendrá dado por la presión del aire, algún coeficiente de arrastre dependiente de la forma $C_D$ , la superficie $S$ que la aeronave ofrece al viento, y finalmente la velocidad al cuadrado $v^2$ .

Ahora, para mantener algo de velocidad, obviamente el empuje $T$ debe ser igual al arrastre $D$ . Ahora, necesito llegar a alguna ecuación para la potencia que necesito para ofrecer tal empuje a tal velocidad, dado que estoy usando motores no ideales, con hélices no ideales, etc. Desde un punto de vista apenas teórico, sé que si quiero aplicar algo de fuerza a un objeto que se mueve a cierta velocidad, estaré usando algo de poder $P \sim Fv$ . Ahora, dado que el empuje se genera de alguna manera que en realidad parece muy dispersivo, me gustaría saber si existe alguna relación entre el poder $P$ , la velocidad $v$ y el empuje $T$ , dado algún motor específico y alguna hélice específica. En particular, ¿cuáles son los parámetros que uno necesita saber para llegar a esta relación?

Por ejemplo, puedo imaginar que algún parámetro de eficiencia para el motor, su tasa de RPM, su voltaje, el diámetro de la hélice, el paso de la hélice, todo esto será relevante para la ecuación que estoy buscando, pero yo no sabría cómo averiguarlo explícitamente.

Si tal relación no existe de manera obvia o general, ¿podría darme una idea de la eficiencia de la propulsión? Quiero decir, sé que $P \geq Tv$ , pero ¿cuánto más grande es en general? ¿Estas cantidades comparten el mismo orden de magnitud o la dispersión es muy grande en comparación con la propulsión real?

Como puedes entender, no soy un experto en el tema, por lo que agradecería cualquier cosa que pueda ayudarme a comenzar.

¡Gracias de nuevo!

Respuestas (1)

¿Hay alguna ecuación para vincular la velocidad, el empuje y la potencia?

Peter Kämpf · Answer 1

Una hélice acelera el aire de densidad. $\rho$ que fluye a través del disco de la hélice de diámetro $d_P$ . Esto se puede idealizar como un tubo de corriente que atraviesa el disco de la hélice:

Sección de la corriente de aire a través de la hélice

La velocidad del aire por delante es $v_0 = v_{\infty}$ y la velocidad del aire detrás de la hélice es $v_1 = v_0 + \Delta v$ . La hélice efectúa un cambio de presión que aspira el aire que tiene delante y lo expulsa. Dado que el flujo másico debe ser igual delante y detrás de la hélice, el diámetro del tubo de corriente es mayor delante de la hélice y más pequeño aguas abajo. En realidad, no existe un límite definido entre el aire que fluye a través de la hélice y el que la rodea, pero para calcular el empuje, esta simplificación funciona bien si la velocidad aerodinámica es idéntica en la sección transversal del disco de la hélice.

El flujo másico (masa $m$ por unidad de tiempo $t$ , escrito como una derivación) es:

\frac{d metro}{d t} = π \cdot \frac{d_{PAG}^{2}}{4} \cdot ρ \cdot (v_{\infty} + \frac{Δ v}{2})

$\frac{dm}{dt} = \pi \cdot\frac{d_P^2}{4}\cdot \rho \cdot \left( v_{\infty} + \frac{\Delta v}{2} \right)$ El flujo másico se escribe como el volumen de aire con densidad

ρ

$\rho$ por tiempo, moviéndose a través del disco de la hélice con el diámetro

d_{P}

$d_P$ a una velocidad que es la mediana entre la velocidad de entrada y la de salida. El empuje es el flujo másico multiplicado por el cambio de velocidad:

T = π \cdot \frac{d_{PAG}^{2}}{4} \cdot ρ \cdot (v_{\infty} + \frac{Δ v}{2}) \cdot Δ v

$T = \pi \cdot\frac{d_P^2}{4}\cdot \rho \cdot \left( v_{\infty} + \frac{\Delta v}{2} \right) \cdot \Delta v$ Si el motor tiene la potencia P, el empuje es la potencia neta dividida por la velocidad aerodinámica en el disco de la hélice. Para llegar a la potencia neta, se multiplica la potencia nominal del motor por la eficiencia de la hélice.

η_{P r o p}

$\eta_{Prop}$ y la eficiencia electrica

η_{e l}

$\eta_{el}$ :

T = \frac{PAG \cdot η_{PAG r o pag} \cdot η_{mi yo}}{(v_{\infty} + \frac{Δ v}{2})}

$T = \frac{P\cdot\eta_{Prop}\cdot\eta_{el}}{\left( v_{\infty} + \frac{\Delta v}{2} \right)}$

Un buen motor tendrá una eficiencia eléctrica superior al 90%, y una buena hélice te dará una eficiencia entre el 80% y el 85%. La eficiencia aumenta con menos $\Delta v$ , por lo que una hélice grande que gira lentamente es mejor que una pequeña y rápida.

Un dirigible no se moverá rápido, por lo que el $v_{\infty}$ es bajo. En el caso de empuje estático es cero, y la ecuación de empuje se puede simplificar:

T_{0} = \frac{PAG \cdot η_{PAG r o pag} \cdot η_{mi yo}}{\sqrt{\frac{2 \cdot T_{0}}{π \cdot d_{PAG}^{2} \cdot ρ}}} = \sqrt[3]{{PAG}^{2} \cdot η_{PAG r o pag}^{2} \cdot η_{mi yo}^{2} \cdot π \cdot \frac{d_{PAG}^{2}}{2} \cdot ρ}

$T_0 = \frac{P\cdot\eta_{Prop}\cdot\eta_{el}}{\sqrt{\frac{2\cdot T_0}{\pi\cdot d_P^2\cdot\rho}}} = \sqrt[\LARGE{3\:}]{P^2\cdot\eta_{Prop}^2\cdot\eta_{el}^2\cdot\pi\cdot \frac{d_P^2}{2}\cdot\rho}$ Para conocer realmente tu

v_{\infty}

$v_{\infty}$ , necesitas saber el arrastre

D

$D$ de tu aeronave. La ecuación general es

D = A \cdot C_{D} \cdot \frac{ρ}{2} \cdot v^{2}

$D = A\cdot c_D\cdot\frac{\rho}{2}\cdot v^2$ con

A

$A$ la zona frontal del buque y

c_{D}

$c_D$ su coeficiente de arrastre. S. Hörner (página 14-1) da el coeficiente de arrastre de LZ126 (luego Los Ángeles) como

c_{D} = 0.023

$c_D = 0.023$ solo para el casco y

c_{D} = 0.071

$c_D = 0.071$ para el barco completo, incluidas las góndolas, las aletas y todo. Un resultado similar se da en el Informe NACA 394 que documenta las pruebas realizadas en modelos de Goodyear Zeppelins en el túnel de viento de densidad variable NACA en 1932. Hay otra fuente, el Informe NACA 117 de Max Munk, escrito en 1921 y supuestamente recopilando los resultados de Medidas alemanas en zepelines que se pueden encontrar aquí .

Sin embargo, su modelo no alcanzará valores tan bajos porque volará con un número de Reynolds más bajo, lo que significa que la fricción será mayor en relación con otras fuerzas. Según el tamaño y la velocidad de su modelo, elija un valor entre 0,15 y 0,3 para los primeros cálculos.

Nunca recibí una respuesta tan clara y comprensible en toda mi vida de stackexchange. ¡Gracias!
Increíble respuesta. Traté de calcular todo esto desde los primeros principios, con su guía, para poder entenderlo completamente. Solo tengo una pregunta. En el paso final donde calculas el empuje $T_o$ , sustituyendo en $Δu$ , me falta un número en mis cálculos. Desde $Δu=\sqrt{\frac{8T_o}{\pi d_p^2p}}$ así que cuando sustituyes en $\frac{Δu}{2}$ yo obtengo $Δu=\sqrt{\frac{2T_o}{\pi d_p^2p}}$ , en vez de $Δu=\sqrt{\frac{T_o}{\pi d_p^2p}}$ que dices..
@RestlessC0bra: ¡Muchas gracias por revisar esto! Tienes razón, olvidé el 2. Lo arreglé.
Hola Pedro. ¿Puede explicar un poco más su afirmación de que "un accesorio grande que gira lentamente es mejor que uno pequeño y rápido"? Intento resolverlo usando las ecuaciones aquí, pero por ejemplo, si reasigno los términos en esta ecuación: $T = \frac{P\cdot n_{prop}\cdot n_{el}}{\Big(V_{\infty} +\frac{\Delta \upsilon}{2} \Big)}$ obtengo la declaración opuesta. ¿Qué me estoy perdiendo?
@RestlessC0bra: Mejor en este contexto significa mayor eficiencia . Una hélice grande capturará más aire y necesitará una hélice más pequeña. $\Delta v$ para producir el mismo empuje y, en consecuencia, girará mucho más lento. En términos matemáticos: El denominador crece con $\Delta v$ , por lo que el empuje de una potencia dada se vuelve mayor. Ahora solo espero haber entendido bien tu pregunta.

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