¿Hay algún otro impulso además del impulso de Poynting almacenado en un campo electromagnético?

La densidad de momento del campo electromagnético en una región cambia por dos razones.

Uno es un flujo de densidad de momento (por ejemplo, si una onda electromagnética entra en la región) y el otro es un intercambio de momento con cargas eléctricas.

Ambos son importantes. El enlace que cita en realidad cubre ambos. Si toma la tasa de cambio de tiempo de la densidad de momento electromagnético más la densidad de fuerza, obtiene el flujo.

Como analogía, puede observar la conservación de la carga. la divergencia de$\vec J$es proporcional a la tasa de cambio en el tiempo de la densidad de carga. Incluso tienes la ecuación de continuidad.$\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\vec \nabla \cdot \vec J.$Entonces, la densidad de corriente es el flujo de la carga eléctrica.

Diré más más adelante para mantener esta respuesta independiente, pero ahora tenga en cuenta que si observa la ecuación 1068 del enlace que citó, entonces sí, el$\rho \vec E$término aparece en la derivación al mismo tiempo que$\epsilon_0 \vec E \vec {\nabla} \cdot \vec E$aparece Pero deberías haber comenzado con el cambio total del impulso total para ver claramente lo que está pasando. Hagámoslo ahora para ser autónomos.

Empezar con$\rho \vec E + \vec J \times \vec B+\frac{\partial}{\partial t}\left(\epsilon_0 \vec E \times \vec B\right)$como la tasa de tiempo a la que cambia el momento total (campo y mecánico) en una región. Querremos mostrar que se puede representar como una divergencia total porque entonces podemos ver el flujo de cantidad de movimiento que nos dice cómo fluye la cantidad de movimiento. Y sí en algún momento hay que girar$\rho \vec E$en$\epsilon_0 \vec E \vec {\nabla} \cdot \vec E$y sí, eso representa el intercambio de impulso mecánico con impulso electromagnético, pero cuando comienzas con$\rho \vec E + \vec J \times \vec B+\frac{\partial}{\partial t}\left(\epsilon_0 \vec E \times \vec B\right)$lo que está calculando es el flujo, que en realidad es una expresión de cómo se mueve el impulso y no le importa si el impulso en ese punto está cambiando de un tipo a otro.

Podemos ver ambas cosas, primero cómo se mueve el impulso y segundo cómo está cambiando allí mismo (aunque esto último podría entenderse bien por la fuerza de Lorentz). La única razón por la que la cantidad de movimiento total puede cambiar es si fluye hacia adentro. Entonces, la cantidad de movimiento de campo en una región puede cambiar por dos razones, por el flujo de cantidad de movimiento (flujo) y por el intercambio con la cantidad de movimiento mecánica allí mismo. Así como puedes escribir$\frac{ \partial \rho}{\partial t}$como divergencia de la corriente; Del mismo modo, desea escribir$\rho \vec E + \vec J \times \vec B+\frac{\partial}{\partial t}\left(\epsilon_0 \vec E \times \vec B\right)$como una divergencia total porque entonces esa cosa de la que estás tomando la divergencia puede ser el flujo de impulso.

Así que ahora que sabemos lo que estamos computando$\rho \vec E + \vec J \times \vec B+\frac{\partial}{\partial t}\left(\epsilon_0 \vec E \times \vec B\right)$(porque es la tasa de cambio en el tiempo de la densidad de momento total, tanto el momento mecánico como el de campo) y sabemos que nuestro objetivo es escribirlo como una divergencia total para que lo que se diverge sea el flujo de momento. Así que dado eso, echemos un vistazo a las partes. En realidad, solo repetiré la derivación para que no necesitemos su enlace.

Entonces la densidad de momento de campo es$\epsilon_0 \vec E \times \vec B$por lo que la tasa de cambio de la cantidad de movimiento del campo es$\frac{\partial}{\partial t}\left(\epsilon_0 \vec E \times \vec B\right)$. La tasa de cambio de la densidad del momento mecánico es$\rho \vec E + \vec J \times \vec B$, por lo que el cambio total de la densidad de momento total es$\rho \vec E + \vec J \times \vec B+\frac{\partial}{\partial t}\left(\epsilon_0 \vec E \times \vec B\right)$. Ahora haremos matemáticas y necesitaremos la identidad.$\vec \nabla \left(E^2/2\right)=\vec E \times \left(\vec \nabla \times \vec E\right) + \left(\vec E \cdot \vec \nabla\right)\vec E$así como reglas de productos y Maxwell:

$$\rho \vec E + \vec J \times \vec B+\frac{\partial}{\partial t}\left(\epsilon_0 \vec E \times \vec B\right)=$$ $$\rho \vec E + \vec J \times \vec B+\epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t} \times \vec B+\epsilon_0 \vec E \times \frac{\partial \vec B}{\partial t}=$$ $$\rho \vec E + \vec J \times \vec B+\left(\frac{1}{\mu_0} \vec \nabla \times \vec B-\vec J\right)\times \vec B+\epsilon_0 \vec E \times \frac{\partial \vec B}{\partial t}.$$

Ahora recordamos que nuestro objetivo es escribir esto como una divergencia total. Pero ahora mismo vemos dos términos$\vec J \times \vec B$y$-\vec J \times \vec B$y matemáticamente no es obvio que cancelarlos nos ayude a obtener una divergencia total pero no duele y luego tenemos menos que escribir. Y quiero señalar que no pareció objetar esta parte. Sin embargo, hay más que simples matemáticas aquí. El término$\vec J \times \vec B$nos dice cómo cambia el momento mecánico y sabemos que el cambio en el momento mecánico simplemente se refleja en los campos. Pero esto nos dice que el momento mecánico intercambiado debido a la fuerza magnética es solo una de las dos cosas que contribuyen al cambio en$\vec E$. Maxwell realmente debería escribirse como ecuaciones de evolución para$\vec E$y$\vec B$y realmente es solo que dos cosas contribuyen al cambio en$\vec E$, circulando$\vec B$y actual Así que ambos (circulantes$\vec B$y actual) contribuyen al cambio en el impulso de campo allí. Es solo que uno (la corriente) contribuye al impulso del campo al ceder el impulso mecánico, mientras que el otro cambia el impulso aquí al hacer que fluya desde cerca. Y solo ese flujo de cantidad de movimiento contribuye al flujo de cantidad de movimiento total. Por lo tanto, cancelarlos es físicamente correcto, no solo matemáticamente permitido y tipográficamente conveniente. Pasará exactamente lo mismo con$\rho \vec E$más tarde porque solo nos importa el flujo del momento total porque eso es lo que estamos calculando. Entonces tenemos:

$$\rho \vec E + \left(\frac{1}{\mu_0} \vec \nabla \times \vec B\right)\times \vec B+\epsilon_0 \vec E \times \frac{\partial \vec B}{\partial t}=$$ $$\rho \vec E + \frac{-1}{\mu_0} \vec B \times \left(\vec \nabla \times \vec B\right)+\epsilon_0 \vec E \times \frac{\partial \vec B}{\partial t}=$$ $$\rho \vec E + \frac{-1}{\mu_0} \left(\vec \nabla \left(B^2/2\right)-\left(\vec B \cdot \vec \nabla\right)\vec B\right)+\epsilon_0 \vec E \times \frac{\partial \vec B}{\partial t}=$$ $$\rho \vec E + \frac{-1}{\mu_0} \left(\vec \nabla \left(B^2/2\right)-\left( \vec \nabla \cdot \vec B\right)\vec B-\left(\vec B \cdot \vec \nabla\right)\vec B\right)+\epsilon_0 \vec E \times \frac{\partial \vec B}{\partial t}=$$ $$\rho \vec E + \frac{-1}{\mu_0} \left(\vec \nabla \left(B^2/2\right)-\left( \vec \nabla \cdot \vec B\right)\vec B-\left(\vec B \cdot \vec \nabla\right)\vec B\right)+\epsilon_0 \vec E \times \left(-\vec\nabla \times \vec E\right).$$

Ahora notamos que cada término tiene campos magnéticos o campos eléctricos y los términos con campos magnéticos son en realidad una divergencia total. Veamos si podemos hacer que la parte eléctrica también parezca una divergencia total.

$$\rho \vec E + \frac{-1}{\mu_0} \left(\vec \nabla \left(B^2/2\right)-\left( \vec \nabla \cdot \vec B\right)\vec B-\left(\vec B \cdot \vec \nabla\right)\vec B\right)+\epsilon_0 \vec E \times \left(-\vec\nabla \times \vec E\right)=$$ $$\frac{-1}{\mu_0} \left(\vec \nabla \left(B^2/2\right)-\left( \vec \nabla \cdot \vec B\right)\vec B-\left(\vec B \cdot \vec \nabla\right)\vec B\right)+\rho \vec E -\epsilon_0 \vec E \times \left(\vec\nabla \times \vec E\right)=$$ $$\frac{-1}{\mu_0} \left(\vec \nabla \left(B^2/2\right)-\left( \vec \nabla \cdot \vec B\right)\vec B-\left(\vec B \cdot \vec \nabla\right)\vec B\right)+\rho \vec E -\epsilon_0\left(\vec \nabla \left(E^2/2\right)-\left(\vec E \cdot \vec \nabla\right)\vec E\right)=$$ $$\frac{-1}{\mu_0} \left(\vec \nabla \left(B^2/2\right)-\left( \vec \nabla \cdot \vec B\right)\vec B-\left(\vec B \cdot \vec \nabla\right)\vec B\right)+\epsilon_0\left(\vec \nabla \cdot\vec E\right) \vec E -\epsilon_0\left(\vec \nabla \left(E^2/2\right)-\left(\vec E \cdot \vec \nabla\right)\vec E\right)=$$ $$\frac{-1}{\mu_0} \left(\vec \nabla \left(B^2/2\right)-\left( \vec \nabla \cdot \vec B\right)\vec B-\left(\vec B \cdot \vec \nabla\right)\vec B\right) -\epsilon_0\left(\vec \nabla \left(E^2/2\right)-\left(\vec \nabla \cdot\vec E\right) \vec E-\left(\vec E \cdot \vec \nabla\right)\vec E\right).$$

Ahora ambas colecciones de términos son una divergencia total. Podríamos haber tomado el rizo y comprobado que obtuvimos$\vec 0$si eso es lo que queríamos saber, pero el punto es que sabemos cómo obtener una cosa específica cuya divergencia es lo que queremos.

Específicamente$\sum_j\frac{\partial}{\partial x_j}\left(\epsilon_0E^2\delta_{ij}/2-\epsilon_0E_iE_j+B^2\delta_{ij}/2\mu_0-B_iB_j/\mu_0\right)$es una divergencia que da el negativo de la$i$el componente de

$$\frac{-1}{\mu_0} \left(\vec \nabla \left(B^2/2\right)-\left( \vec \nabla \cdot \vec B\right)\vec B-\left(\vec B \cdot \vec \nabla\right)\vec B\right) -\epsilon_0\left(\vec \nabla \left(E^2/2\right)-\left(\vec \nabla \cdot\vec E\right) \vec E-\left(\vec E \cdot \vec \nabla\right)\vec E\right).$$

Así que conceptualmente queríamos una ecuación como$\frac{\partial \rho }{\partial t}=-\vec \nabla \cdot \vec J$donde el flujo de la carga nos dice la tasa de cambio de la carga en el tiempo. Lo tenemos:

$$\rho E_i + \left[\vec J \times \vec B\right]_i + \frac{\partial}{\partial t}\left[\epsilon_0\vec E \times \vec B\right]_i=-\sum_j\frac{\partial}{\partial x_j}\left(\epsilon_0E^2\delta_{ij}/2-\epsilon_0E_iE_j+B^2\delta_{ij}/2\mu_0-B_iB_j/\mu_0\right)$$

Quedan dos cuestiones conceptuales. Uno, mencionó, era sobre el intercambio de momento entre el campo y la carga. Si no hubiera ninguna densidad de carga, el término ya habría sido una divergencia total, al igual que lo fueron los términos magnéticos. Cuando hay carga, entonces el campo eléctrico tiene una divergencia. Esto solo significa que el impulso del campo puede fluir hacia adentro o hacia afuera desde donde terminan las líneas de campo. Esto no es un truco. Si miras la cantidad de movimiento total, no hay problema, simplemente fluye, así que hay un flujo de cantidad de movimiento. Y la tasa de cambio en el tiempo de la cantidad de movimiento total es simplemente el negativo de la divergencia del flujo de cantidad de movimiento. Nada misterioso en lo más mínimo. Claro, si miras solo el impulso del campo ahora, hay dos formas de que cambie,

Ahora, la fuerza magnética intercambió cantidad de movimiento con parte del impulso de campo cambiante del campo eléctrico cambiante. Esa es en realidad una de las formas en que cambia el momento del campo, desde las fuerzas magnéticas que actúan sobre las cargas en movimiento y las cargas en movimiento cambian el campo eléctrico más allá de cómo el campo magnético circulante cambia el campo eléctrico. Y el otro contribuyente a cambiar los campos eléctricos, circulando$\vec B$campos, sucede incluso cuando no hay cargas en movimiento, por lo que se trata del flujo de cantidad de movimiento a través del espacio entre las cargas. Sin embargo, para las fuerzas eléctricas, las cosas pueden parecer diferentes al principio. El$\vec{B}$cambios de campo únicamente debido a los campos eléctricos circulantes. Sin embargo, lo mismo sucede de todos modos.

Ni el momento mecánico por sí mismo ni el momento del campo por sí mismos tienen su tasa de cambio en el tiempo como una divergencia total. Así que toda intuición sobre cantidades conservadas falla. El impulso del campo no se conserva, no es algo que simplemente fluya. Lo mismo con el impulso mecánico. Pero el impulso total se conserva, simplemente fluye de aquí para allá. Lo que puedes imaginar es escribir cada uno como una divergencia total más algún otro término, donde los términos de no divergencia son iguales y opuestos. Esto no es único, y no es físicamente significativo ya que el momento de campo y el momento mecánico por sí mismos (en regiones donde hay ambos) no se conservan, por lo que somos libres de elegir matemáticamente el que queramos, y desafortunadamente para la comprensión conceptual, el matemáticamente más fácil es tener el$\rho\vec{E}$ser 100% el otro (por lo que la parte de divergencia es cero). Mientras tanto, la parte del impulso de campo es

$$-\epsilon_0\left(\vec \nabla \left(E^2/2\right)-\left(\vec E \cdot \vec \nabla\right)\vec E\right)=$$ $$-\epsilon_0\left(\vec \nabla \left(E^2/2\right)-\left(\vec \nabla \cdot\vec E\right) \vec E-\left(\vec E \cdot \vec \nabla\right)\vec E+\left(\vec \nabla \cdot\vec E\right) \vec E\right)=$$ $$-\epsilon_0\left(\vec \nabla \left(E^2/2\right)-\left(\vec \nabla \cdot\vec E\right) \vec E-\left(\vec E \cdot \vec \nabla\right)\vec E\right)-\epsilon_0\left(\vec \nabla \cdot\vec E\right) \vec E=$$ $$-\epsilon_0\left(\vec \nabla \left(E^2/2\right)-\left(\vec \nabla \cdot\vec E\right) \vec E-\left(\vec E \cdot \vec \nabla\right)\vec E\right)-\rho \vec E.$$

Así que una divergencia total menos un término como$\rho\vec E$. Pero esto no es un truco, solo dice cuando la divergencia de$\vec E$es distinto de cero, la cantidad de movimiento del campo no se conserva y la velocidad a la que se pierde (en lugar de simplemente fluir, ya que eso se sigue mediante el término de divergencia total) es igual y opuesta a la que gana la cantidad de movimiento mecánica. Esto es exactamente lo que queremos y, por lo tanto, lo opuesto a un truco. Así que podemos ver cómo fluye la cantidad de movimiento (porque el flujo es aquello de lo que tomamos una divergencia total) y sí, se interconvierte entre diferentes tipos de cantidad de movimiento porque eso es lo que hace la cantidad de movimiento, no es más misterioso que cuando una partícula intercambia cantidad de movimiento con otra diferente. partícula. Podríamos llamarlo momento de la partícula uno y momento de la partícula dos y notar que ninguno se conserva por sí mismo.

Para ser totalmente claro sobre el campo magnético, el campo magnético cambia únicamente debido a los campos eléctricos circulantes. No cambia debido a las cargas ni a las corrientes. Sin embargo, solo en ausencia de cargas, la parte del campo eléctrico fluye de una manera en la que tiene una divergencia total para el impulso del campo por sí mismo. Y esto es como solo en ausencia de corriente, la parte del campo magnético fluye de una manera en la que tienes una divergencia total. Eso es solo porque el impulso del campo no se conserva en los otros casos. Entonces, su flujo no es una divergencia total, es una divergencia más un término como la densidad de fuerza de Lorentz. Una parte se intercambia entre los dos tipos de impulso, y otra parte fluye de aquí para allá. Y la cantidad de movimiento total se conserva.

Tengo algunas dificultades conceptuales con la energía y el impulso almacenados en el campo EM.

Tal vez eso se deba a que hay cierta combinación entre campo y fuerza. Ver Espacio y tiempo de Minkowski :

"En la descripción del campo causado por el electrón mismo, entonces parecerá que la división del campo en fuerzas eléctricas y magnéticas es relativa con respecto al eje de tiempo asumido; las dos fuerzas consideradas juntas pueden ser más vívidamente descrito por una cierta analogía con la fuerza-tornillo en la mecánica; la analogía es, sin embargo, imperfecta".

¿Ves cómo dijo el campo? ¿Y luego habló de las fuerzas eléctricas y magnéticas? Consulte también la sección 11.10 de Electrodinámica clásica de Jackson , donde dice que "uno debería hablar correctamente del campo electromagnético Fμν en lugar de E o B por separado". En mi humilde opinión, eso se debe a que E representa la fuerza eléctrica lineal y B representa la fuerza magnética rotacional. Y el punto importante es que no hay densidad de fuerza como algún punto en un campo electromagnético. Las fuerzas solo existen cuando interactúan dos campos electromagnéticos. Se necesitan dos para bailar un tango.

Entonces, mi pregunta es, ¿qué explica este término restante?

No sé. Pero como tiene dificultades conceptuales, tal vez necesite un enfoque conceptual. Comience con la dispersión de Compton , donde parte de la energía de onda de fotones E=hf se convierte en energía cinética de electrones. Haz otra dispersión Compton sobre el fotón residual, y otra y otra ad infinitum. En el límite no queda ningún fotón. Cuando le quitas toda la energía a una onda, simplemente ya no existe. Se ha convertido por completo en el movimiento de los electrones. Y, sin embargo, en la producción de pares , puedes hacer un electrón (y un positrón) a partir de un fotón. Entonces, en cierto modo, el electrón está hecho de movimiento. O energía si lo prefieres. O mejor aún, energía-momentum.

Tenga en cuenta que puede difractar electrones. Y tenga en cuenta que en los orbitales atómicos, los electrones "existen como ondas estacionarias" . Piensa en el fotón como algo parecido a una onda sísmica que te desplaza 1 m a la izquierda y luego 1 m a la derecha. Si pudiera hacerlo dar una vuelta de ½ de la trayectoria del cinturón de Dirac , sería un desplazamiento estático de 1 m. (Haga una idea de esto cortando tiras de papel de onda sinusoidal de 1 longitud de onda y envolviéndolas en tiras de Möbius). Terminas con un campo fijo en lugar de una variación de campo, y el impulso está oculto. ¿ Ves la sección de campo estático del artículo de Wikipedia Poynting vector ? ¿Ves esta foto de Michael Lenz?

_{Vector de Poynting en un campo estático, donde E es el campo eléctrico, H el campo magnético y S el vector de Poynting.}

Bueno, no hay un campo eléctrico E, y no hay un campo magnético H. O B. Es el campo electromagnético , e incluso para comenzar a representarlo, debe combinar las representaciones radiales y circulares típicas de E y B. Vea esta respuesta donde Hice esto, y pienso en el impulso oculto como algo así como arrastrar fotogramas. No permanece oculto cuando ocurre la aniquilación electrón-positrón. Luego, sus fotones gamma p = hf / c se apagan como un tiro, en c, desde un comienzo "parado". Una onda estacionaria parece inmóvil, pero no lo es. El movimiento está oculto. El impulso está oculto. La energía-momento está oculta. Y si no fuera así, el campo electromagnético permanente no estaría allí.