Gravedad de un disco

En realidad, el centro de masa es el único problema crítico, la simetría es irrelevante. En COM, el campo gravitatorio es plano, es decir, cero G, por lo que COM coincide con COG. Prácticamente por definición.

La pregunta es sobre G en el centro de simetría de un disco cuando hay otros objetos en el sistema. Dado que estos moverán el COM, el punto 0g se alejará del centro del disco mismo. Así que no hay tal prueba. Solo existe la integral de Gm1m2/r^2 de las masas delta sobre sus radios desde cada punto del sistema, resuelta para el punto donde la integral es 0. Esto solo coincide con el centro geométrico de un disco o esfera (o cualquier forma simétrica para el caso) cuando no hay otros objetos masivos involucrados.

Asumo aquí un punto de vista relativista general, ya que este es el caso más general y porque tiene interesantes consecuencias observacionales.

La idea del centro de masa se suele aplicar para calcular el campo gravitatorio fuera de las distribuciones de materia con simetría esférica. Esto no supone que el campo sea uniforme. En particular, puede disminuir en función de la distancia desde el centro del disco o esfera.

En la teoría de la relatividad general, el teorema de Birkhoff establece (en términos simples) que el campo gravitacional fuera de una distribución de materia esféricamente simétrica es solo una función de la masa total, y no la extensión de la materia o su distribución como una función de la distancia desde el centro, o incluso en función del tiempo!

Tenga en cuenta que esto supone una distribución de materia esféricamente simétrica. Es decir, tiene que ser isótropo y, debido a la simetría, tendrá un centro definido de manera única, que es completamente análogo al centro de masa. También asume que la partícula de prueba está fuera de la distribución de materia. En el interior hay correcciones de orden superior al campo gravitatorio.

La consecuencia física es que no se puede realizar ninguna medición del campo gravitatorio para distinguir entre una esfera homogénea de masa M, un punto (todos ellos ubicados en el centro de la esfera) fuente gravitacional de la misma masa (por ejemplo, un agujero negro) o una estrella que oscila radialmente.

Todo esto supone que el observador, o partícula de prueba, está en el mismo plano que el objeto gravitante. Entonces, en el caso de un disco 2D, esto supone que la partícula de prueba está en el plano del disco. Fuera de este plano, el teorema no se cumple. Seguramente, una partícula que inicialmente viaja hacia el centro, bien puede terminar cruzando el disco alejándose del centro, debido al campo gravitacional anisotrópico.

La condición de que un objeto puede ser reemplazado por un punto en su centro de masa en lo que respecta a la gravedad se aplica a una esfera. No se aplica a un disco. Si la gravedad cayera como el inverso de la distancia, en lugar del inverso del cuadrado de la distancia, se aplicaría a un disco, al menos en el plano del disco.