Función Schechter de luminosidad para galaxias

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Función Schechter de luminosidad para galaxias

Espacio
galaxia
luminosidad

migueljroberts

Solo una pregunta que me cuesta entender. Tengo la función de luminosidad de Schechter para galaxias, dada como:

Φ (L) d L = Φ_{0} {(\frac{L}{L_{⋆}})}^{α} {mi}^{- \frac{L}{L_{⋆}}} \frac{d L}{L_{⋆}}

$\Phi(L)dL=\Phi_{0}\left({\frac{L}{L_{\star}}}\right)^{\alpha}e^{-\frac{L}{L_{\star}}}\frac{dL}{L_{\star}}$

Necesito considerar el caso cuando $\alpha=-1$ . Y luego demuestre que la luminosidad promedio de una galaxia es exactamente $L_{\star}$ . ¿Alguien podría explicar cómo podría hacer esto y tal vez una pista o alguna parte de una configuración sería excelente? Realmente necesito entender esto.

Otra parte, que está relacionada con la pregunta anterior, me pide que explique por qué la luminosidad total es un número finito, mientras que el número total de galaxias diverge. ¿Significa esto que el número total es infinito? Cualquier comentario adicional sobre esto también sería muy apreciado.

Conrado Turner

La segunda parte de esto es bastante fácil, solo involucra un par de integrales, la primera converge (para la luminosidad total por unidad de volumen) a

Φ_{0} L^{*}

$\Phi_0 L^*$ y el segundo diverge en el límite inferior de luminosidad (para el número total de galaxias por unidad de volumen). Mi problema es que esto implica que la luminosidad promedio de una galaxia es cero. Solo si tomamos

Φ_{0}

$\Phi_0$ como una especie de densidad numérica espacial "típica" para las galaxias, tenemos que

L^{*}

$L^*$ es la luminosidad "típica" correspondiente.

migueljroberts

Sí, entiendo si usted veces por

L

$L$ luego integre el LF con respecto a

L

$L$ obtienes luminosidad total, y luego integrando el LF con respecto a

L

$L$ obtienes la densidad numérica. Divide uno por el otro para obtener el promedio. Pero salgo con algunas funciones Gamma muy problemáticas.

Respuestas (1)

Función Schechter de luminosidad para galaxias

La segunda parte de esto es bastante fácil, solo involucra un par de integrales, la primera converge (para la luminosidad total por unidad de volumen) a $\Phi_0 L^*$ y el segundo diverge en el límite inferior de luminosidad (para el número total de galaxias por unidad de volumen). Mi problema es que esto implica que la luminosidad promedio de una galaxia es cero. Solo si tomamos $\Phi_0$ como una especie de densidad numérica espacial "típica" para las galaxias, tenemos que $L^*$ es la luminosidad "típica" correspondiente.
Sí, entiendo si usted veces por $L$ luego integre el LF con respecto a $L$ obtienes luminosidad total, y luego integrando el LF con respecto a $L$ obtienes la densidad numérica. Divide uno por el otro para obtener el promedio. Pero salgo con algunas funciones Gamma muy problemáticas.

Conrado Turner · Answer 1

Luminosidad total con $\alpha=-1$ :

\begin{aligned} L_{t o t} & = \int_{0}^{\infty} L Φ_{0} \frac{L^{*}}{L} {mi}^{- \frac{L}{L^{*}}} \frac{d L}{L^{*}} \\ = \int_{0}^{\infty} Φ_{0} {mi}^{- \frac{L}{L^{*}}} d L \end{aligned}

$\begin{aligned} L_{tot}&=\int_0^{\infty}L \Phi_0 \frac{L^*}{L}e^{-\frac{L}{L^*}}\frac{dL}{L^*}\\ &=\int_0^{\infty}\Phi_0 e^{-\frac{L}{L^*}}dL \end{aligned}$ Ahora pon

L^{'} = L / L^{*}

$L'=L/L^*$ y obtienes:

L_{t o t} = Φ_{0} L^{*} \int_{0}^{\infty} {mi}^{- L^{'}} d L^{'} = Φ_{0} L^{*}

$L_{tot}=\Phi_0L^* \int_0^{\infty}e^{-L'}dL'=\Phi_0L^*$ Numero total:

\begin{aligned} {norte}_{t o t} & = \int_{0}^{\infty} Φ_{0} \frac{L^{*}}{L} {mi}^{- \frac{L}{L^{*}}} \frac{d L}{L^{*}} \\ = \int_{0}^{\infty} Φ_{0} \frac{1}{L} {mi}^{- \frac{L}{L^{*}}} d L \end{aligned}

$\begin{aligned} N_{tot}&=\int_0^{\infty} \Phi_0 \frac{L^*}{L}e^{-\frac{L}{L^*}}\frac{dL}{L^*}\\ &=\int_0^{\infty} \Phi_0 \frac{1}{L}e^{-\frac{L}{L^*}}dL \end{aligned}$ que diverge en el límite inferior.

observar con $\alpha=-1$ no tenemos funciones gamma.

También IIRC con $\alpha \in (-1,0)$ al computar $L_{tot}/N_{tot}$ las funciones gamma cancelan dejando $(1+\alpha)L^*$

No estoy seguro de que tus matemáticas sean correctas allí, ya que obtienes un $L_{\star}$ desaparecer en tu expresión final para $N_{tot}$ .
Hola Conrad, ¿podrías explicar o derivar la última oración donde dices que las funciones Gamma se cancelan... podrías mostrarme cómo se hace esto exactamente...
Terminas con algo como $L_{tot}/N_{tot}=L^* \times \frac{\Gamma(\alpha+2)}{\Gamma(\alpha+1)}$ pero $\Gamma(\alpha+2)=(\alpha+1)\Gamma(\alpha+1)$ . Lo siento, no puedo ser más preciso, la derivación es en casa y yo no estoy en este momento.
Cuando vuelvas a tu derivación en casa podrías compartirla conmigo. Todavía no estoy seguro de cómo muestra que la luminosidad promedio es $L_{\star}$ aunque...
No lo hace, lo que tienes es que normalmente es $L^*$ según mi primer comentario sobre la pregunta original.
Solo una pregunta rápida, en la tercera línea, ¿cómo conseguiste que la integral definida fuera 1? ¿Podrías mostrarme esos pasos?
$\int_0^{\infty}\exp(-x)dx=\left[-\exp(-x) \right]_0^{\infty}=-\exp(-\infty)+\exp(-0)=0+1=1$

Función Schechter de luminosidad para galaxias

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Conrado Turner

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