Función generadora del número de particiones de nnn en partes pares.

Question

Función generadora del número de particiones de nnn en partes pares.

Matemáticas
combinatoria
particiones enteras
funciones generadoras

rebeca williams

Considere la función generadora ordinaria $e(x)=\sum_{n\geq0}e(n)x^n$ por el numero $e(n)$ de particiones del entero $n$ en partes pares. Expresar $e(x)$ como producto de funciones generatrices simples.

Así que sé que el número de particiones de $n$ en partes pares viene dada por

\prod_{i \geq 0} \frac{1}{1 - X^{2 i}}

$\prod_{i\geq0}\frac{1}{1-x^{2i}}$ pero no estoy seguro de cómo expresar esto como un producto de funciones generadoras simples, cualquier ayuda sería apreciada.

pedro taylor

¿No es eso ya un producto de funciones generatrices simples?

Darij Grinberg

No si empiezas en

i = 0

$i=0$ .

Respuestas (1)

Función generadora del número de particiones de nnn en partes pares.

¿No es eso ya un producto de funciones generatrices simples?

brian hopkins · Answer 1

Estoy de acuerdo con el comentario de Peter Taylor de que la función generadora que diste ya es bastante simple. Si tienes que hacer algo, puedes usar la diferencia de cuadrados para escribir

\prod_{i \geq 1} \frac{1}{1 - X^{2 i}} = \prod_{i \geq 1} (\frac{1}{1 - X^{i}}) (\frac{1}{1 + X^{i}}) .

$\prod_{i \ge 1} \frac{1}{1-x^{2i}} = \prod_{i \ge 1} \left(\frac{1}{1-x^i}\right)\left(\frac{1}{1+x^i}\right).$

Lo más interesante es que el número de particiones de $n$ en partes pares es un número de partición. Más precisamente: escribir $p(n)$ por el número de particiones de $n$ . Una partición con solo partes pares necesariamente suma un número par. Entonces $e(2n) = p(n)$ simplemente tomando la mitad de cada parte.

(Editado para reflejar el comentario de @DarijGrinberg de que $i$ debe comenzar desde 1 en lugar de 0.)

Función generadora del número de particiones de nnn en partes pares.

rebeca williams

pedro taylor

Darij Grinberg

Respuestas (1)

brian hopkins

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