Función de onda de giro/sabor de protones

Tenga en cuenta que Griffiths tiene mucho cuidado de hacer coincidir cada uno de estos términos,

$$udu ~~\Leftrightarrow~ \uparrow \downarrow \uparrow,$$ y si haces coincidir ambos términos a la vez obtienes dos cambios de signo: $$(\downarrow \uparrow \uparrow - \uparrow \downarrow \uparrow)\otimes (duu - udu) = (-1)^2 (\uparrow \downarrow \uparrow - \downarrow \uparrow \uparrow)\otimes(udu - duu)$$ y desde $(-1)^2 = 1$esto no es un problema.

Entonces, la verdadera pregunta que está haciendo es, ¿ por qué tenemos que hacer coincidir estos términos? Y esa es una buena pregunta y tiene que ver con la forma en que los 3 términos juegan juntos (un cambio de signo en cualquier término individual no hace nada por la consistencia o la inconsistencia).

Entonces la expresión toma la forma de "vamos a insertar algunos$u_\uparrow$estado en el estado de 2 quarks doblemente antisimetrizados

$$d_\downarrow u_\uparrow - d_\uparrow u_\downarrow - u_\downarrow d_\uparrow + u_\uparrow d_\downarrow,$$ porque sabemos que tenemos dos $\uparrow$giros y dos $u$quarks, por lo que uno de estos quarks up tiene que estar en el estado spin-up". (Nótese que bajo $1^\text{st}\leftrightarrow2^\text{nd}$intercambiar lo anterior es de hecho simétrico, siendo el último término exactamente el primer término con las dos partículas intercambiando lugares.) Ahora la expresión elige insertar simétricamente este $u_\uparrow$quark en la primera posición, la segunda posición y la tercera posición, por lo que el resultado seguirá siendo simétrico aquí y se volverá antisimétrico después de corregir la carga de color.

Lo que está proponiendo al invertir el signo del primer término, por lo tanto, no está insertando simétricamente este$u_\uparrow$quark en cada uno de los tres puntos, pero insertándolo en primer lugar con un cambio de fase de 180 grados. Y eso, naturalmente, no será propiamente simétrico aquí ni antisimétrico después.

Su texto, con el que no estoy familiarizado, puede haber hecho un flaco favor a algunos de sus lectores al escatimar esfuerzos en la última línea de su fórmula, tratando de ahorrar espacio. Escribir los términos de permutación le proporciona la función de onda de protones completa:

$$\frac{1}{\sqrt{18}} ~ (2 u\uparrow ~ u\uparrow ~ d\downarrow - u\uparrow ~ u\downarrow ~ d\uparrow -u\downarrow ~ u\uparrow ~ d\uparrow \\ +2 u\uparrow ~ d\downarrow ~ u\uparrow - u\downarrow ~ d\uparrow ~ u\uparrow-u\uparrow ~ d\uparrow ~ u\downarrow \\ + 2d\downarrow ~u\uparrow ~ u\uparrow - d\uparrow ~u\downarrow ~ u\uparrow - d\uparrow ~u\uparrow ~ u\downarrow ).$$ Puede verificar directamente, ¡por inspección!, que esto es completamente simétrico bajo el intercambio de los quarks 1-2, y también los quarks 2-3, y también los quarks 3-1. Dado que las posiciones, 1,2,3, son marcadores de posición para los índices de color, que están antisimetrizados ("fuera del escenario"), todos los quarks, como los fermiones de buena fe, están completamente antisimetrizados entre sí. Confirme que esta es una configuración de composición única para el estado de protones giratorio.

La simetría completa de la función de onda anterior es una ilustración del atractivo que el SU(6) de giro de sabor (Gürsey-Radicati-Sakita, 1964) tiene entre los trabajadores en el campo: este es solo un componente de los 56 irrep de este " grupo auxiliar", que es una representación totalmente simétrica, en marcado contraste con las representaciones de espín SU(2) , sabor SU(3) y su subgrupo particular SU(2) (isospin). Vea abajo.

---

Su posible confusión se basa en el desorden de las diversas piezas, que como un sudoku, conspiraron para dar esta respuesta simple, que podría ilustrar la mística transformadora que esta estructura tenía en el campo hace medio siglo cuando Gell-Mann se la reveló a el mundo... había método en su locura, y pensado en el lenguaje adecuado, tenía sentido, pero no de la manera que se anticipó durante varias décadas.

Lo que realmente sucede es que la función de onda es de simetría mixta en el espacio de espín y el espacio de sabor (octuple vía o isopspin, aquí), mientras que es simétrica en la combinación de estos dos. De hecho, las repeticiones de los componentes respectivos son reducibles (pero como viste arriba, conspiran para producir partes de la simple repetición irreducible anterior; este es el punto de la generalización, la "gran síntesis como solía decir MGM").

Específicamente, cuando miras los intercambios de 1-2 partículas en (5.62),$\psi_{12}$(espín) es antisimétrico (un singlete de espín compuesto por un doblete de espín para el tercer quark); pero se multiplica por un sabor antisimétrico$\psi_{12}$(isopin) para producir una pieza simétrica de intercambio.

He aquí: bajo este mismo intercambio, las otras dos piezas, en repeticiones muy diferentes de giro e isospin, giran entre sí, para compensar su simetría, como vio arriba, a saber

$$\psi_{23}(s)\psi_{23}(f) + \psi_{13}(s)\psi_{13}(f) \leftrightarrow \psi_{13}(s)\psi_{13}(f) +\psi_{23}(s)\psi_{23}(f) .$$ ¡Sus piezas adecuadas encajan en trillizos e isotripletes de espín! (Incrustado en el tipo SU(3) , esto implicaría el octeto 8 de simetría mixta de bariones: es por eso que tiene este divertido cuadro de Young en forma de Γ, en caso de que esté familiarizado con la contabilidad de simetría que proporcionan).

No hay libertad para ajustar los signos entre los diversos componentes mientras se mantiene la simetría completa entre 1, 2 y 3.

---

Comentario adicional (criticidad formal): dado que no hay quarks extraños involucrados, el subgrupo de SU(6) en cuestión es en realidad meramente SU(4) (Wigner 1937), en cuya representación simétrica 20 también pertenece la función de onda del protón anterior. Bajo el subgrupo spin x isospin de él,$SU(2)\times SU(2)$,${\mathbf 20}=({\mathbf 2},{\mathbf 2})\oplus({\mathbf 4},{\mathbf 4})$, donde el primer término es el isodoblete protón-neutrón, spin-doblete, uno de cuyos 4 estados representa esta función de onda; y el segundo es el isocuarteto de cuarteto de espín Δ bariónico en el decuplet bariónico de vía óctuple.