Frecuencia de resonancia

Su cálculo de la impedancia vista por la fuente es correcto.

Claramente, hay una frecuencia 'especial' (angular)

donde hay un polo en la impedancia, la impedancia tiende al infinito.

Ahora, veamos el dual del circuito dado:

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Para el circuito dual, la impedancia vista por la fuente es

y ahora tenemos un cero en$\omega_0$- la impedancia se pone a cero.

En ambos casos, el polo o cero está en el$j \omega$eje. Generalmente, no lo son.

Entonces, ¿cómo encuentras la resonancia en general?

En este contexto (RLC), la frecuencia de resonancia es la frecuencia en la que la impedancia del inductor y el condensador son iguales en magnitud y de signo opuesto.

Actualización para abordar el comentario y la edición de preguntas.

Del artículo de Wikipedia "Circuito RLC", sección " Frecuencia natural ":

La frecuencia de resonancia se define en términos de la impedancia presentada a una fuente impulsora. Todavía es posible que el circuito continúe oscilando (durante un tiempo) después de que se haya quitado la fuente impulsora o se someta a un paso de voltaje (incluido un paso a cero). Esto es similar a la forma en que un diapasón seguirá sonando después de haber sido golpeado, y el efecto a menudo se denomina repique. Este efecto es la frecuencia de resonancia natural máxima del circuito y, en general, no es exactamente igual a la frecuencia de resonancia activada, aunque las dos suelen estar bastante cerca una de la otra.Diferentes autores utilizan varios términos para distinguir los dos, pero la frecuencia de resonancia no calificada generalmente significa la frecuencia de resonancia impulsada. La frecuencia impulsada puede denominarse frecuencia de resonancia no amortiguada o frecuencia natural no amortiguada y la frecuencia máxima puede denominarse frecuencia de resonancia amortiguada o frecuencia natural amortiguada. El motivo de esta terminología es que la frecuencia de resonancia excitada en un circuito resonante en serie o en paralelo tiene el valor 1

$$\omega_0 = \frac {1}{\sqrt {LC}}$$

Esto es exactamente lo mismo que la frecuencia de resonancia de un circuito LC, es decir, uno sin resistencia presente, es decir, es lo mismo que un circuito en el que no hay amortiguación, por lo tanto, la frecuencia de resonancia no amortiguada. La frecuencia de resonancia máxima, por otro lado, depende del valor de la resistencia y se describe como la frecuencia de resonancia amortiguada. Un circuito altamente amortiguado no resonará en absoluto cuando no esté accionado. Un circuito con un valor de resistencia que hace que esté justo al borde del timbre se llama críticamente amortiguado. Cualquiera de los lados de la amortiguación crítica se describe como subamortiguada (se produce un timbre) y sobreamortiguada (se suprime el timbre).

Los circuitos con topologías más complejas que la serie directa o el paralelo (algunos ejemplos se describen más adelante en el artículo) tienen una frecuencia de resonancia impulsada que se desvía de$\omega_0 = \frac {1}{\sqrt {LC}}$y para ellos, la frecuencia de resonancia no amortiguada, la frecuencia de resonancia amortiguada y la frecuencia de resonancia impulsada pueden ser todas diferentes.

Consulte la sección " Otras configuraciones " para su segundo circuito.

En resumen, las frecuencias en las que la impedancia es real, en las que la impedancia es estacionaria (máxima o mínima) y en las que las reactancias de L y C son iguales pueden ser iguales o diferentes y cada una es algún tipo de frecuencia de resonancia. .

La frecuencia de resonancia seguramente será

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$[rad/s]

o

$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$[Hz]

Su fórmula para Z debe ser incorrecta. Deberías terminar con algo como esto:

impedancia es:

$Z(\omega) = -j \frac{ \omega L}{\omega^{2}LC-1} + R$

Tal vez olvide los números complejos, debería ser más fácil con las reactancias$Xl$y$Xc$. Podemos hacer eso porque consideramos esto como una bobina y un condensador ideales (los ángulos vectoriales son -90 y +90).

La resonancia ocurre cuando$Xl = Xc$. Los vectores de impedancia para la bobina y el condensador ideales son opuestos, por lo que se restan y eso hace que el vector de impedancia sea igual a cero.

$Xc = \frac{1}{2\pi{fC}}$

$Xl = {2\pi{fL}}$

así que necesito encontrar f aquí:

${2\pi{fL}} = \frac{1}{2\pi{fC}}$

con omega sera mas facil

${\omega{L}} = \frac{1}{\omega{C}}$

${\omega{L}} * {\omega{C}} = 1$

${\omega\omega{LC}} = 1$(No tengo idea de cómo hacer poder aquí)

... (Reduciré esto, esta sintaxis no es amigable para transformar fórmulas "sobre la marcha"

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$[rad/s]

He hecho una imagen para una mejor comprensión de la resonancia:

Entonces, si ocurre una resonancia, en un circuito LC ideal hipotético no hay pérdidas de energía en la reactancia. La energía fluye de la bobina (campo magnético) al capacitor (campo eléctrico) y fluye de un lado a otro con frecuencia de resonancia.

En la vida real , algunas corrientes provocan pérdidas térmicas en los devanados de las bobinas. En el capacitor, algún campo eléctrico se descarga por la resistencia entre los electrodos del capacitor. Estas pérdidas no afectan la frecuencia de resonancia, pero hay algunas otras pérdidas parásitas (inductancia en el condensador, capacidad en la bobina, etc.), cambios de capacidad e inductancia debido a cambios en el entorno (temperatura, permeabilidad magnética del entorno de la bobina y pueden cambiar un poco la frecuencia de resonancia). .

La razón por la que tiene problemas es porque establecer la parte imaginaria de la impedancia en cero para encontrar la frecuencia resonante solo funciona para circuitos en serie rlc. Para circuitos paralelos, si hay resistencia en el circuito, la resonancia ocurre donde la impedancia es máxima , y ​​la resonancia ocurre cuando la admitancia tiene una parte imaginaria cero.

Cuando tiene un inductor ideal y un capacitor ideal en paralelo, la frecuencia angular resonante es simplemente$\frac{1}{\sqrt{LC}}$. Cuando hay resistencia en serie con el inductor o capacitor, es como si estos componentes no fueran ideales, y la ecuación anterior ya no da la frecuencia de amplitud máxima.

Obtuviste esto correctamente: -

$Z = =R + \dfrac{j\omega L}{1-\omega^2 LC}$

Ahora, ¿qué condición surgiría para que la impedancia fuera infinita?

Solo puede ser cuando el denominador es igual a cero por lo tanto: -

$1-\omega^2 LC$= 0 y reordenando,$\omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$

Para la segunda parte de la pregunta (inductor no ideal), tiene una fórmula para omega cuando la impedancia del circuito RLC es puramente real, es decir, no hay una parte imaginaria de la impedancia. Intentaré demostrar que: -

Z =$\dfrac{R+j\omega L}{1+j\omega CR -\omega^2LC}$.

Necesitas hacer que el denominador sea real multiplicando arriba y abajo con el conjugado complejo del denominador. Entonces puedes ignorar el denominador porque es real. El numerador se convierte en: -

$(R+j\omega L)\cdot(1-j\omega CR -\omega^2LC)$- nota la$j\omega CR$término ahora es negativo.

Multiplicando obtenemos: -

$R - j\omega CR^2 - \omega^2 LCR + j\omega L -j^2\omega^2 LCR - j\omega^3 L^2C$

Ahora, iguale las partes imaginarias a cero: -

$0 = -\omega CR^2 + \omega L - \omega^3 L^2 C$y dividir por omega para obtener

$\omega^2 L^2 C + CR^2 = L$y por lo tanto

$\omega^2 = \dfrac{L}{L^2 C} - \dfrac{CR^2}{L^2 C}$lo que significa$\omega = \sqrt{\dfrac{1}{LC} - \dfrac{R^2}{L^2}}$

Si tuviera que calcular dónde está el polo (independientemente de la complejidad de la impedancia, es más simple: debe igualar el denominador a cero y usar la solución de una ecuación cuadrática para encontrar el valor complejo s. El denominador es: -

$s^2 + s\dfrac{R}{L} + \dfrac{1}{LC}$

Por lo tanto s =$\dfrac{-\dfrac{R}{L}}{2} +/-\sqrt{\dfrac{R^2}{4L^2}-\dfrac{1}{LC}}$

Para obtener la naturaleza compleja de s, niegas la parte debajo del signo de la raíz cuadrada y traes$\sqrt{-1}$afuera para formar el operador "j": -

$j\omega = +/-j\sqrt{\dfrac{1}{LC}-\dfrac{R^2}{4L^2}}$

Esta segunda parte de la ecuación está en el eje jw y representa dónde estaría la coordenada del polo a lo largo de ese eje. La primera parte de la ecuación anterior es la parte real de s en el diagrama de polos y ceros.

Conclusión: hay dos frecuencias importantes en el caso del inductor con pérdida paralelo resonado con un capacitor: ¿cómo se aprende a ir de A a B? A veces es una verdadera batalla y solo tienes que profundizar un poco más. Digo que hay dos frecuencias, pero de hecho hay otra frecuencia que es importante: el punto de atenuación de 3dB, pero no voy a ir allí hoy.

Este es un circuito en el que el LC "antirresuena": a cierta frecuencia, la impedancia combinada es infinita (o en un circuito práctico, al menos el máximo). Esta configuración se usa para sintonizar la radio AM y en otros lugares; como notó, la función de transferencia se convierte en 1 en la frecuencia resonante.

Tuve el mismo problema con la frecuencia de resonancia. Cuando le pregunté a alguien por un método general para encontrar la frecuencia de resonancia de un circuito, me dijeron que usara la función de transferencia en lugar de la impedancia en el circuito.

Si queremos usar la función de transferencia, necesitamos 4 nodos (2 para la entrada y 2 para la salida). Esto tiene sentido, porque el cambio de fase de una señal es igual a cero en resonancia y el cambio de fase de una señal no se puede evaluar a menos que se conozcan la señal original y la señal cambiada (de salida).

Ahora que tengo una señal/impedancia de entrada y salida, puedo encontrar la parte imaginaria de mi función de transferencia y establecerla en cero. Después de establecer la parte imaginaria de la función de transferencia en cero, solo resuelvo para omega, y resulta que este método funciona para el filtro de paso de banda que se publicó en la pregunta original.

Una vez más, intuitivamente tiene sentido que la parte imaginaria de la función de transferencia se establezca en cero porque la función de transferencia compara la entrada con la salida de un circuito.

Si defino U_out así:

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Efectivamente, acabamos de convertir el problema original (sin función de transferencia) en un problema con función de transferencia. Claramente, este no es un filtro de paso de banda, en todo caso es un filtro de parada de banda.

En este problema, puedo mostrar que la función de transferencia es igual a la impedancia del circuito original:

por lo tanto, siempre que la frecuencia de resonancia de este nuevo circuito sea la frecuencia de resonancia deseada, debería ser seguro hacer el cálculo con la impedancia en lugar de la función de transferencia. Lo mejor es seguir con la función de transferencia y asegurarse de que

Como siempre, al final esto siempre se aplica:

Espero que esto resuelva nuestro problema. Todavía no lo he probado en ningún otro circuito, así que no puedo garantizar que siempre funcione, pero por ahora estoy contento con este método y no veo ninguna situación en la que no funcione.

Nota:

En este caso no hay cambio de fase.

Dado que en el circuito paralelo, la parte imaginaria de la admitancia debe ser cero, no la de la impedancia ... que se requiere para un valor máximo de voltaje. Mientras que la corriente debe ser máxima en el circuito resonante en serie para un valor constante de voltaje ... así que aquí imaginario parte de la 'impedancia' debe ser cero.