Formalismo matemático para mostrar que un átomo proyecta una pequeña sombra en el campo de fotones que lo ilumina

Esta pregunta se refiere a la relación entre la absorción de fotones y el modo espacial de la luz. En la pregunta tengo alguna intuición física que creo que entiendo y que surge del experimento que se espolvorea por todas partes. Sin embargo, el formalismo matemático que tengo para abordar la pregunta en cuestión parece no ser capaz de describir la situación física que me preocupa y el formalismo también me plantea problemas de causalidad. Debido a todo esto, dedico la mayor parte del texto de esta publicación a exponer el formalismo matemático tal como lo entiendo, con la esperanza de buscar una mayor comprensión de este formalismo o de señalar un formalismo más sofisticado que pueda abordar mis preocupaciones.

Fondo

En óptica cuántica, el campo eléctrico se puede cuantificar como

mi ^ ( X , t ) = i ℏ 2 ϵ 0 V ∑ k , s ω k ( F k , s ( X ) a ^ k , s ( t ) − F k , s ∗ ( X ) a ^ k , s † ( t ) )

Los símbolos en negrita representan cantidades vectoriales. La es una ecuación para el campo eléctrico cuántico en el espacio y el tiempo. Sumamos todos los vectores de onda k que tienen, por la ecuación de Helmholtz, frecuencias temporales relacionadas ω k = C | k | . s es un índice de polarización y toma los valores 1 o 2.

F k , s ( X ) es una función de modo espacial de valor vectorial adimensional que está determinada por las condiciones de contorno*. Por ejemplo, comúnmente, si consideramos la cuantización en caja de volumen V las funciones de modo están dadas por

F k , s ( X ) = ϵ k , s mi i k ⋅ X

Aquí ϵ s es el vector de polarización. Tenga en cuenta que esta es solo una opción posible para el conjunto completo de modos que surgen de resolver la ecuación de Helmholtz. El F k , s ( X ) también podrían ser, por ejemplo, los modos Hermite-Gaussian o Laguerre-Gaussian, ya que puede ser útil considerarlos para este problema.

El volumen de modo o volumen de cuantización está relacionado con los modos espaciales por**

∫ d X F k , s ( X ) ⋅ F k ′ , s ′ ∗ ( X ) = d k k ′ d s s ′ V

El a ^ k , s ( t ) y a ^ k , s † ( t ) son los operadores bosónicos, fotónicos de aniquilación y creación. Estos operadores están relacionados con el número de fotones que ocupan un solo modo. Vemos que las propiedades estadísticas cuánticas de mi ^ dependen de las propiedades estadísticas cuánticas de la a k , s

Si le quitamos los sombreros a esta expresión podemos ver que el a k , s ( t ) son coeficientes dependientes del tiempo de la descomposición del modo espacial del campo eléctrico. Volviendo a ponernos los sombreros, vemos que estos coeficientes de moda, a ^ k , s ( t ) ahora son variables aleatorias cuánticas en lugar de amplitudes fijas.

Láser brillante en una pantalla

Primero un experimento mental. Supongamos que tenemos una fuente de luz que emite, por ejemplo, un rayo gaussiano*** que se enfoca hasta un tamaño de punto w 0 en un lugar determinado. Supongamos que somos capaces de sintonizar arbitrariamente la potencia de esta fuente. Supongamos por el bien del argumento que emite estados de luz coherentes. En un modo (alta potencia), la salida se puede ajustar para que el flujo de estado coherente se componga de muchos fotones por segundo (como en un láser habitual en el que pensamos) o en otro modo (baja potencia) se puede ajustar para que que la salida es menos de un fotón por segundo.

En un experimento, colocamos una pantalla en la ubicación del foco y hacemos brillar el rayo láser a alta potencia sobre la pantalla. Por supuesto, veremos un punto en la pantalla con una forma gaussiana.

En otro experimento, colocamos la pantalla en la misma ubicación del foco, pero ahora bajamos el láser a baja potencia. Ahora bien, si miramos la pantalla no veremos un punto muy iluminado. Lo que veremos es que, a medida que pasa el tiempo, veremos aparecer pequeños puntos en la pantalla uno a la vez (el espacio temporal entre la aparición de puntos será estadístico pero relacionado con el flujo de fotones). Si hacemos un seguimiento de todos los puntos que vemos, con el tiempo la distribución de los puntos se verá exactamente como el punto gaussiano que teníamos para alta potencia.

Este tipo de historia es familiar para aquellos que conocen el experimento de la doble rendija de Young.

Ahora imagina que ponemos un pequeño disco frente a la pantalla, digamos algunas longitudes de onda ópticas frente a la pantalla. En el caso de alta potencia solo veremos una sombra del disco. En el caso de baja potencia veremos la sombra del disco cuando observemos la distribución de los puntos brillantes.

Sombra de un solo átomo

Ahora imagine que en lugar de un disco frente a la pantalla colocamos un solo átomo que tiene una transición resonante con la frecuencia del rayo láser. El átomo puede absorber un poco de luz y así proyectar una sombra. La pregunta es algo así:

1) ¿Cómo se ve la sombra? En realidad, sé la respuesta a esta pregunta gracias a la imagen de absorción de un solo átomo . La respuesta es que una pequeña sombra de tamaño ≈ λ ≈ 1   m metro aparecerá en la pantalla. Tenga en cuenta que w 0 ≫ λ .

2) Mi pregunta es ¿cómo describir en el formalismo presentado en la sección de antecedentes?

Podemos considerar el acoplamiento (dipolo)***** entre un átomo ligero de la forma H = − mi ⋅ d y veremos algo como

H ^ A F = ∑ k , s ℏ gramo k , s σ ^ † a ^ k , s + ℏ gramo k , s ∗ σ ^ a ^ k , s †

Aquí σ ^ = | GRAMO ⟩ ⟨ mi | es el operador de descenso atómico que lleva el átomo del estado excitado al fundamental. El operador de acoplamiento para cada modo viene dado por

gramo k , s = ω 2 ℏ ϵ 0 V d k , s GRAMO mi

Aquí

d k , s GRAMO mi = ⟨ GRAMO | mi X ⋅ ϵ k , s | mi ⟩

mi es la carga del electrón. Nótese que si consideramos, por ejemplo, un s → pag En la transición atómica, en realidad hay múltiples estados excitados que hacen que el acoplamiento del átomo a los diferentes modos ópticos sea isotrópico. Es decir, el acoplamiento total es el mismo para la luz que proviene de todas las direcciones.

Mi pensamiento sería que la respuesta a cómo se forma la sombra es que el átomo preferentemente absorbe modos con ciertos vectores de onda pero no con otros. Como resultado, el modo de descomposición de la luz "después" del átomo es diferente de la descomposición "antes" del átomo. Esto significa que el campo óptico se verá diferente, es decir, puede tener una sombra. sin embargo, el hecho de que el acoplamiento sea isotrópico parece poner una llave en esta esperanza.

la pregunta en si

A) Si el acoplamiento de la luz a todos los modos espaciales es el mismo, ¿no sería el efecto del átomo en el campo suprimir la amplitud transmitida de TODO el patrón óptico en la misma cantidad? ¿Atenuando así todo el patrón en lugar de crear una sombra?

B) Por supuesto, si la proposición en A es correcta (no creo que lo sea, especialmente dada la referencia citada anteriormente), entonces parece haber algunos problemas de localidad serios. ¿Cómo puede la presencia del átomo en el centro del haz gaussiano afectar la intensidad transmitida cerca del borde del haz cuando están separados por muchas longitudes de onda?

C) Esto me plantea una pregunta general sobre la ubicación de las interacciones átomo-luz. Visto de esta manera a ^ k , s es la amplitud cuántica de un modo espacial no local extendido completo con patrón espacial F k , s ( X ) . Si el átomo emite o absorbe un fotón en este campo, entonces parece que el átomo está haciendo algo altamente no local en esta descripción matemática. Es decir, el átomo ocupa un volumen de sublongitud de onda muy muy pequeño del campo, pero en esta descripción matemática puede afectar la amplitud del campo a millones de longitudes de onda instantáneamente al absorber o emitir un fotón. ¿Existe un formalismo matemático más sofisticado para tratar esta situación física que aclararía estas cuestiones?

notas al pie

*Se supone que las condiciones de contorno son finitas, como una caja grande pero finita. No sé exactamente cómo tratar lo que pregunto en el caso del espacio infinito y creo que esto podría estar implicado en la respuesta a mi pregunta.

** Tenga en cuenta que son posibles otras normalizaciones para el volumen del modo, pero esta es la que tomo. Tenga en cuenta que en esta configuración todos los modos tienen el mismo volumen de modo.

*** Para lo que sigue, aunque la luz es un modo gaussiano, consideraré F k , s ( X ) ser ondas planas. Esto significa que el campo óptico que sale del láser en realidad está compuesto por muchos modos de onda plana con diferentes vectores de onda. Es decir, el campo está en una superposición (cuántica) de ocupar muchos modos diferentes.

**** ¿Qué tan poco en realidad? Supongo que, en principio, tan poco como lo que sea que absorba o disperse la luz en la pantalla, por lo que tal vez el significado de la escala atómica, debido al límite de difracción, los puntos parecerían ser del tamaño de una longitud de onda óptica. λ .

*****Me pregunto si parte de la respuesta a mi pregunta tiene que ver con términos de acoplamiento multipolar de alto orden. No me parece. Podemos suponer que no hay transiciones cercanas con las reglas de selección adecuadas para que estos acoplamientos de orden superior no jueguen ningún papel.

Sólo pensé en esto un poco más. Regrese al caso con solo un disco sólido proyectando una sombra. En este caso (utilizando la óptica de Fourier clásica), el campo después del disco es la multiplicación del campo antes del disco por una máscara 2D con la forma del disco. En el espacio de Fourier esta multiplicación aparece como una convolución. Si el disco estaba iluminado por una onda plana, entonces originalmente en k -espacio el campo era una función delta. Sin embargo, después del disco es una convolución con la transformada de Fourier de la máscara. En otras palabras, el campo ahora tendrá soporte sobre un rango finito de vectores de onda.
Lo que esto significa es que la máscara no es un elemento óptico lineal. Es decir, no solo atenúa los vectores de onda que vienen. Dispersa la luz entre vectores de onda (matemáticamente a través de la convolución). En mi pregunta, he tratado de tratar el átomo como un elemento óptico lineal que simplemente atenúa ciertos vectores de onda. Sin embargo, parece que debemos considerar la redispersión (¿dispersión hacia adelante?) de la luz por parte del átomo en diferentes modos espaciales ópticos. Creo que al mirarlo de esa manera, la respuesta podría eventualmente caer. No sé si el formalismo que he dado anteriormente puede capturar este efecto.
Arriba he considerado el acoplamiento dipolar de la luz, mi ⋅ d . En otro formalismo, el acoplamiento hamiltoniano es de la forma A ⋅ pag . Consideramos la transformada de Fourier de la representación del espacio de posición del átomo. Creo que este formalismo podría hacer las cosas un poco más claras. Uno puede ver en este formalismo que hay una interacción entre los modos de momento de la luz y los modos de momento del electrón y pueden dispersarse entre sí, poblando así nuevos modos de momento de cada uno. . Uno imagina algún tipo de diagrama QED Feynman para esto...
Sí, creo que la palabra que estoy buscando es dispersión de Rayleigh. Todavía tengo curiosidad por saber si alguien tuvo una idea de lo que he preguntado. También tengo curiosidad de cómo esta dispersión podría expresarse en el formalismo que describí anteriormente.

Respuestas (1)

Al leer detenidamente la pregunta, creo que los problemas del OP no tienen nada que ver con la naturaleza cuántica de la interacción, sino simplemente con la comprensión de cómo funcionan los modos. Para ver esto, simplemente escribamos el término de interacción en una forma diferente que, de hecho, también se menciona en la pregunta. Introducir las dependencias funcionales pertinentes

H ^ A F = − mi ^ ( r a , t ) ⋅ d ^ ,

dónde r a es la posición del átomo. Esta interacción es el punto de partida para derivar la imagen modal que proporciona el OP. Proviene de la prescripción de acoplamiento mínimo e implica, por ejemplo, la aproximación del dipolo y la fijación adecuada del calibre.

Así que veamos este problema en un nivel conceptual. Lo que tenemos es un operador de campo eléctrico (un operador de función de espacio y tiempo) que está acoplado al átomo.

  • El operador de campo se rige por la versión del operador de las ecuaciones de Maxwell.
  • Los operadores atómicos se rigen por el hamiltoniano estándar para cualquier estructura de nivel que tenga en el átomo.
  • El hamiltoniano acopla estas dos ecuaciones de evolución de operadores.

Su tarea no es comenzar con una determinada condición inicial para el operador de campo eléctrico (o matriz de densidad) y resolver estas ecuaciones de evolución. Con esto podemos al menos responder C)

Respuesta a C): No hay nada que no sea local aquí, el acoplamiento al campo eléctrico es solo en la posición del átomo (esto supone la aproximación del dipolo, por supuesto).

Resolver estas ecuaciones de operadores es, por supuesto, difícil. Pero, según tengo entendido, la pregunta es sobre cuestiones conceptuales, no sobre cómo resolver este problema en un contexto determinado.

Esto deja en claro que el único problema es la descomposición del modo. Trabajemos hacia atrás y primero veamos la pregunta B):

B) ¿Cómo puede la presencia del átomo en el centro del haz gaussiano afectar la intensidad transmitida cerca del borde del haz cuando están separados por muchas longitudes de onda?

La respuesta es simple: la luz se acopla al átomo, lo que provoca un cambio local del campo cuántico, que luego se propaga de acuerdo con las ecuaciones de propagación. Nada difícil aquí tampoco.

Aquí ya podemos ver por qué esto cambia en la imagen modal. Los modos en sí mismos son una base no local en algún sentido. Es decir, no trabajas en el espacio de posición. Si desea describir cómo se comporta un campo localizado, debe observar las superposiciones y no puede considerar los modos individualmente.

Esto nos prepara para A):

A) Si el acoplamiento de la luz a todos los modos espaciales es el mismo, ¿no sería el efecto del átomo en el campo suprimir la amplitud transmitida de TODO el patrón óptico en la misma cantidad? ¿Atenuando así todo el patrón en lugar de crear una sombra?

Bueno, la constante de acoplamiento puede ser la misma, pero la población de cada uno de los modos no lo es. Si está observando la dispersión lineal, simplemente puede imaginar reemplazar el átomo por una pequeña esfera refractiva, que es totalmente equivalente a la dispersión lineal. Lo que sucedería entonces es exactamente la intuición clásica que el OP describió en los ejemplos de la pregunta, solo que el átomo es refractivo en lugar de un material completamente absorbente.

Sí, tienes razón en que mi pregunta es más sobre los modos que sobre la naturaleza cuántica. Sin embargo, hay una especie de bit adicional con el que tal vez pueda hablar. Veamos su respuesta a A), donde sugiere considerar reemplazar el átomo por una cuenta de vidrio esférica y sugiere que el acoplamiento a todos los modos es el mismo. Supongamos que la ÚNICA interacción entre la luz y la materia en la que creías/sabías era la absorción (esta es la interacción que describí matemáticamente en el OP). ¿Está de acuerdo, entonces, en que la predicción es que la cuenta de vidrio oscurecería todo el patrón que la ilumina?
Es decir, no hay más dispersión que la absorción, por lo que la perla no puede, por ejemplo, doblar y redirigir la luz en una nueva dirección. La situación con la absorción solo es lo que había estado considerando porque supongo que la absorción es la interacción cuántica microscópica hecha entre la luz y los átomos sobre la que he aprendido en cierta profundidad. Sin embargo, me estaba llevando a los problemas no locales que mencioné anteriormente. Está claro a partir del ejemplo de las cuentas que debemos considerar los efectos "refractivos" como la desviación de la luz de un modo a otro.
Un complemento a mi pregunta podría redactarse como "En un entorno de formalismo cuántico, ¿qué formalismo más allá de la absorción debemos considerar para describir la sombra del átomo? ¿Cuál es el enfoque cuántico para la dispersión de la luz entre modos en lugar de simplemente atenuación de un solo modo por la materia?" Pregunto sobre el marco cuántico porque entiendo el marco clásico. En el marco clásico, simplemente imagina la perla de vidrio como una máscara de fase/absorción y multiplicas tu campo incidente por esta máscara para obtener el resultado. En el espacio de Fourier (modo) esto aparece como convolución.
Ha respondido a su propia pregunta: "Está claro a partir del ejemplo de las cuentas que debemos considerar los efectos "refractivos" como la desviación de la luz de un modo a otro". Esto es exactamente lo que sucede en el caso cuántico. La interacción que anotó en la pregunta contiene exactamente eso. Casi cualquier interacción lo hará, después de todo, la interacción es local y los modos no lo son. Entonces, la interacción se dispersará automáticamente entre los modos... lo que causa la sombra.
"En el marco clásico, simplemente imaginas la perla de vidrio como una máscara de fase/absorción y multiplicas tu campo incidente por esta máscara para obtener la salida. En el espacio (modo) de Fourier, esto se muestra como una convolución". En mi opinión, esta es una forma bastante limitada de pensar en esto, ya que solo se aplica a conjuntos de modos específicos (supongo que ondas planas aquí). De manera más general, lo que sucede en el formalismo clásico: tienes un paquete de ondas. Lo descompones en tus modos. Su interacción causa dispersión entre sus modos. Los superpone para ver cómo se ve el nuevo paquete de ondas.
Este procedimiento es conceptualmente exactamente el mismo en el caso cuántico. Solo usted tiene operadores/funciones de Wigner/matrices de densidad/cualquier otra cosa que prefiera en lugar de los paquetes de onda clásicos. También tenga en cuenta que la propagación cuántica es exactamente la clásica en el límite de dispersión lineal.
Formalismo matemático para mostrar que un átomo proyecta una pequeña sombra en el campo de fotones que lo ilumina
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