Flexión de luz por agujeros negros

La teoría general de las lentes gravitatorias muestra que un rayo de luz que se aproxima dentro de un radio$r~>>~2GM/c^2$se desviará aproximadamente un ángulo$\theta~=~GM/rc^2$. En un marco más general, la desviación de la luz viene dada por el radio angular de Einstein

$$\theta_E~=~\sqrt{\frac{4GM}{c^2}\frac{d_{ls}}{d_ld_{s}}},$$ dónde $d_{ls},~d_l,~d_s$son los diámetros angulares de la lente gravitacional, la fuente y la distancia entre la lente gravitacional y la fuente. Para $d_{ls},~d_l,~d_s$los diámetros angulares a la lente gravitacional, la fuente y la distancia entre la lente gravitatoria y la fuente. La condición $d_s~=~d_l~+~d_{sl}$se obtiene localmente donde el arrastre del marco cosmológico es pequeño. Esta teoría es la aproximación de lente gravitacional débil, donde la desviación de la luz es esencialmente un resultado newtoniano. Las relaciones de distancia están determinadas por $\theta d_s~=~\beta d_s~+~\alpha' d_{ls}$, para los ángulos dados en la figura. El ángulo de desviación ángulo de desviación reducido $\alpha(\theta)~=~(d_{ls}/d_s)\alpha'(\theta)$da una relación entre los ángulos de importancia $\alpha(\theta)~+~\beta~=~\theta$. El fondo que luego se distorsiona escala como la raíz cuadrada de la masa del agujero negro o del gran cuerpo gravitatorio. Entonces, a una distancia fija, mayor es la medida estereorradián de distribución que se observa.

Para la posición de una fuente$\vec x$, la propagación de la luz a lo largo de la$z$eje de esta fuente luego reduce la apariencia visual del objeto a$\vec\xi~=~(\xi_x,~\xi_y)$a lo largo del eje de propagación óptica. La débil lente gravitacional de la luz indica que la desviación de la apariencia de este objeto a lo largo del eje de propagación óptica está dada por la

$$\Delta{\vec\xi}~=~\nabla\Phi(\xi),$$ para $\xi$la posición de la imagen con la masa presente y $\Phi(\xi)$el potencial gravitatorio. La diferencia en la posición del vector de la imagen. ${\vec\xi}_i~-~{\vec\xi}_s$es la diferencia entre la posición con la masa presente y sin ella presente. El término potencial obedece a la ecuación de Poisson de modo que $$\nabla^2\Phi~=~2\frac{\Sigma(\vec\xi)}{\Sigma_c}$$ La integración sobre la dirección de propagación da la densidad de masa en el plano de la imagen, a menudo llamada densidad de masa superficial. $\Sigma(\vec\xi)$. El ángulo de desviación $\alpha$se determina entonces por la ecuación de Poisson y el potencial como $${\vec\alpha}’(\vec\xi)~=~\frac{4G}{c^2}\int\frac{(\vec\xi~-~\vec\xi')\Sigma(\vec\xi')}{|\vec\xi~-~\vec\xi'|^2}d^2\xi',$$ para $\Sigma(\vec\xi)$una distribución de densidad de masa/área en la imagen. La función $\Sigma(\vec\xi)$juega el papel de un índice de refracción basado en una distribución de masa, que para una lente delgada dará el ángulo de desviación. Para una lente delgada gravitacional, un campo débil que es muy pequeño en comparación con la longitud del camino óptico, y $\Sigma(\vec\xi)$es una constante El ángulo de desviación es simplemente $$\alpha(\xi)~=~\frac{4\pi G}{c^2}\frac{\Sigma(\xi) d_{ls}\xi}{d_s}$$ donde para ángulos pequeños $|\vec\xi|~=\xi~=~d_l\theta$y $$\alpha(\xi)~=~\frac{4\pi G\Sigma}{c^2}\frac{d_{ls}d_l}{d_s}~=~\frac{\Sigma}{\Sigma_c}\theta$$ para la densidad de masa crítica $\Sigma_c~=~(c^2/4\pi G)(d_s/d_{ls}d_l)$. Esta es la densidad de masa mínima que podría distribuirse en el área de un anillo de Einstein.

Famoso, las estrellas cercanas al sol se desvían 1,75 segundos de arco, como predijo Einstein.
Calculo que las estrellas en el otro lado de la galaxia cuya luz pasó muy cerca del centro de la galaxia se desviarían coincidentemente en aproximadamente la misma cantidad.
Si observa en la banda submilimétrica, podría verlo, al igual que Doeleman ve el agujero negro en sí.
Pero se necesitaría mucho más que una vida para que algo pasara detrás del agujero negro en el centro de la galaxia.
El diámetro aparente del radio de Schwarzschild es de unos 40 microsegundos de arco, o alrededor de 10^-10 radianes. Así de pequeño tendrías que ver para detectar aquellas estrellas cuyo ángulo de desviación es un radian o más.

El radio aparente del anillo de Einstein en radianes es aproximadamente la raíz cuadrada de esto, es decir, 10^-5 radianes o aproximadamente 2 segundos de arco, muy similar al número de Einstein, pero esto es solo una coincidencia.
Busque la fórmula del anillo de Einstein en wikipedia y puede hacer un cálculo preciso si lo desea.

Para un agujero negro, la luz se desvía cada vez más sin límite a medida que un rayo se acerca al agujero. No existe un límite teórico para el ángulo, pero existe un límite práctico a medida que las imágenes se acercan.

Un boceto de las geodésicas nulas que forman las dos primeras imágenes relativistas en el lado de la imagen principal del eje óptico. La figura de la izquierda representa la primera imagen relativista, que se forma cuando un fotón gira alrededor del agujero negro una vez. La figura de la derecha representa la segunda imagen relativista que se forma aún más cerca del agujero negro, después de dar dos vueltas. En realidad, ambas imágenes están muy juntas en el plano de la lente y muy cerca de la esfera de fotones del agujero negro.

Ver figura 1.4, página 39/18:

Bin-Nun, Amitai Yisrael, Lentes gravitacionales con un gran ángulo de deflexión como sonda de la relatividad general y el centro galáctico (2010). Disertaciones Penn de acceso público. http://repository.upenn.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1352&context=edissertations