¿Existe una relación matemática entre el tiempo y la entropía? [cerrado]

No existe una relación en la que se pueda encontrar tanto la entropía$S$usted sabe de termodinámica de equilibrio (ETD) o mecánica estadística (ESM) y la variable tiempo$t$usted sabe de la dinámica.

La razón de esto es que el concepto de entropía, como todo lo demás en ETD y ESM, solo tiene significado si el sistema está en equilibrio , y si el sistema está en equilibrio, por definición, no hay evolución temporal.

En otras palabras, lo que puede hacer en ETD y ESM es calcular la entropía de estados de equilibrio específicos y la diferencia de entropía entre estados de equilibrio, pero nunca puede escribir una expresión para la entropía cuando el sistema evoluciona entre esos estados de equilibrio , porque cuando el sistema está evolucionando no está en equilibrio.

Sin embargo, hay un teorema de Boltzmann que se acerca mucho a definir una "entropía" que depende del tiempo: el famoso teorema H.

Lo que Boltzmann mostró es que el funcional

$$H [f] \equiv \int d \mathbf p \ f(\mathbf p, t) \log f(\mathbf p, t)$$

dónde$f(\mathbf p, t)$es una solución de la ecuación de transporte de Boltzmann , solo puede disminuir con el tiempo o permanecer estacionario:

$$\frac{dH}{dt} \leq 0$$

y que obtengamos el "$=$" firmar solo cuando$f=f_0$, dónde$f_0$es la distribución de Maxwell-Boltzmann . Es posible mostrar (ver por ejemplo K. Huang, Statistical Mechanics ) que

$$H[f_0] = -\frac{S}{Vk_B}$$

dónde$k_B$es la constante de Boltzmann. El$H$Por tanto, el teorema sería aparentemente un enunciado de la segunda ley de la termodinámica en el caso especial del volumen fijo. Sin embargo, hay algunos problemas:

1. Incluso si$-H[f_0]\propto S$, no está claro si$-H[f]$puede identificarse rigurosamente con la entropía que conocemos de la termodinámica y la mecánica estadística.
2. Para derivar el teorema H, Boltzmann hizo una fuerte suposición, la suposición del caos molecular , que efectivamente introduce una asimetría temporal en el sistema, y ​​no está claro si esta suposición es físicamente justificable o no.