¿Existe una fórmula matemática para calcular la fuerza de arrastre sin pruebas empíricas?

Me pregunto si existe una fórmula matemática que podamos usar para calcular la fuerza de arrastre sin mediciones empíricas.

Sí, gran parte del diseño de cohetes modernos se realiza con software de dinámica de fluidos computacional en lugar de pruebas en túnel de viento.

¿Podemos simplemente mirar el sistema de una molécula de aire y el cohete, calcular el cambio instantáneo en el impulso de la molécula de aire después de la colisión como la fuerza resistiva y luego sumar las fuerzas experimentadas por todas las moléculas de aire para obtener la resistencia?

Esa no es una forma práctica de hacerlo, debido a la asombrosa cantidad de moléculas de aire involucradas; Creo que las implementaciones modernas de CFD subdividen el volumen alrededor del cohete en (¿millones de?) regiones de pequeño volumen donde se simula el flujo de aire agregado (presión, velocidad), y usan heurística para decidir dónde subdividir más los volúmenes para obtener una simulación de grano más fino donde las cosas volverse turbulento y complicado.

Es posible calcular en lugar de medir el arrastre de un objeto. Sin embargo, la respuesta a la técnica específica que sugiere:

¿Podemos simplemente mirar el sistema de una molécula de aire y el cohete, calcular el cambio instantáneo en el impulso de la molécula de aire después de la colisión como la fuerza resistiva y luego sumar las fuerzas experimentadas por todas las moléculas de aire para obtener la resistencia?

es no: no puedes hacer esto.

Aquí hay un argumento que aclara por qué esto no es posible.

Una cosa que sucede cuando un objeto pasa a través de un fluido es que calienta el fluido. Un ejemplo famoso de esto es algo que ingresa a la atmósfera desde el espacio: el objeto que ingresa a la atmósfera se calienta porque el fluido (atmósfera) que atraviesa se calienta adiabáticamente. Gran parte de la energía cinética del objeto se vierte en forma de calor en el fluido.

Pero la temperatura de un fluido (o de hecho de cualquier objeto) es una propiedad estadística : solo tiene significado cuando se considera un gran número de partículas del gas.

Esto significa que no puede simplemente considerar cómo una sola partícula de gas rebota en el objeto y de alguna manera multiplicarla para calcular el arrastre. Tienes que mirar cómo las partículas del fluido interactúan entre sí.

Entonces, cualquier modelo matemático de fuerzas de arrastre debe hacer una de tres cosas:

• tratar el fluido como una gran cantidad de partículas con velocidades y momentos individuales y modelar las interacciones entre esta gran cantidad de partículas, el objeto y entre sí;
• basado en la comprensión de la mecánica estadística del primer modelo, derivar algunas ecuaciones sobre cómo se comportan los fluidos y luego tratar el fluido como un fluido, con propiedades como temperatura, presión, etc.;
• derivar algunas expresiones más simples para el arrastre basadas en la comprensión del fluido que darán respuestas aproximadas, lo que generalmente requiere que se agreguen varios parámetros determinados experimentalmente.

Todos estos enfoques son 'fórmulas matemáticas', pero solo el último se acerca a algo que podría, por ejemplo, calcular con la ayuda de una calculadora en unas pocas horas.

El último de estos es lo que se hizo antes de que existieran las computadoras. Las expresiones que obtendría generalmente solo serían válidas para ciertos rangos de parámetros, ya que no manejarían bien fenómenos como turbulencias y choques. Cualquiera que use este enfoque haría bien en verificar sus resultados usando un modelo en un túnel de viento, y esto es lo que hizo.

El primer enfoque no es computacionalmente práctico excepto en casos muy especiales y probablemente nunca lo será.

El segundo enfoque es muy utilizado. Sin embargo, hay algunas razones por las que los túneles de viento siguen siendo útiles.

• Los cálculos son extremadamentenuméricamente intenso: las supercomputadoras fueron y son construidas principalmente para resolver estos problemas (no solo problemas de arrastre sino también problemas generales de dinámica de fluidos). Esto significa que, con una potencia informática limitada, los cálculos solo se pueden realizar de forma bastante aproximada (por lo general, esto significa que la parte del fluido (el elemento, la caja de rejilla o la celda) que es la unidad más pequeña con la que se puede trabajar es bastante grande. Esto, a su vez, significa que varias características del problema no se pueden modelar correctamente y se deben "parametrizar". Si ocurre un comportamiento importante por debajo de la escala de un elemento, simplemente se lo pasa por alto o se hace algún truco inteligente para darse cuenta de que se están pasando por alto cosas. y reduciendo sucesivamente el tamaño del elemento hasta capturar el comportamiento. Esto hace que el modelo sea aún más computacionalmente intenso: a veces es más fácil,
• Incluso si el modelo computacional 'funciona', se habrá construido utilizando un modelo necesariamente simplificado del fluido: las ecuaciones que gobiernan el flujo de fluido no son lineales y tienen todo tipo de comportamiento complicado como turbulencia y choques que pueden o no ser capturados adecuadamente en el modelo y que pueden provocar pequeños errores numéricos debido a la falta de precisión en la representación de los números. Sin duda querrá ir y comparar los resultados del modelo con un fluido real, si puede.
• Los programas a menudo tienen errores, los algoritmos numéricos a menudo son inestables, las computadoras a menudo tienen errores.

Todas estas cosas significan que los enfoques computacionales, si bien son profundamente valiosos, especialmente cuando los experimentos son costosos o están prohibidos, tienen límites y, de hecho, hacer experimentos sigue siendo útil.

Existe una fórmula matemática, pero requiere conocer la distribución de presión y velocidad alrededor de la superficie del objeto:

dónde$S_{lower}$y$S_{upper}$se refieren a las superficies inferior y superior, respectivamente, y$\theta$es el ángulo entre el vector normal de la unidad local a la superficie y la dirección vertical.

Para obtener la presión y la velocidad en condiciones específicas, necesita una de estas tres cosas: datos experimentales, una simulación computacional o una solución analítica a las ecuaciones de Navier Stokes para su caso particular de interés. Las soluciones analíticas son pocas y difíciles de encontrar para el caso general con formas de dominio de flujo arbitrarias. Los datos del experimento pueden ser costosos de obtener y requerirían el uso de instrumentos que necesariamente interrumpen el flujo, lo que dificulta la medición precisa de lo que desea (aunque los experimentos bien diseñados minimizan la interrupción tanto como sea posible).

La simulación computacional, en mi opinión, es el mejor compromiso entre los otros dos. Proporciona un experimento "virtual" que utiliza ecuaciones analíticas que deben resolverse de forma iterativa. No obstante, como han dicho otros, no es trivial obtener soluciones útiles a partir de la simulación computacional. Los analistas de CFD experimentados dedican mucho tiempo a preparar los casos con cuidado, creando mallas apropiadas, usando/implementando esquemas de gradiente adecuados, flujos numéricos, esquemas de pasos de tiempo, modelos de turbulencia, modelos de transición, adaptación de impactos, tratamiento de capa límite, etc... Mientras que CFD puede ser más accesible de forma ubicua, todavía se necesita mucho más esfuerzo para producir soluciones útiles.

Cuando las computadoras todavía tenían una potencia relativamente baja y aún no eran capaces de resolver las ecuaciones de Navier Stokes, había otros métodos para estimar los parámetros del campo de flujo. Uno de esos métodos es resolver primero las "Ecuaciones de Euler", que son esencialmente una forma transparente de las ecuaciones de Navier Stokes. Por supuesto, si el fluido solo se trata como no viscoso, la resistencia siempre sería cero. Para estimar la solución viscosa a partir de la no viscosa, observamos las líneas de corriente individuales de la solución no viscosa en el cuerpo de interés e integramos de principio a fin para "construir" una capa límite iterativamente hasta que se cumpla un criterio de convergencia. Una vez que haya acumulado suficiente espesor de capa límite, puede usar varias correlaciones para obtener la presión resultante$p$y esfuerzo cortante de la pared$\tau_w$que necesita para calcular el arrastre. Este método a menudo se denomina en la literatura como la "ecuación integral del momento".