¿Existe una expresión analítica aproximada para la distribución de masa radial de la Vía Láctea?

A los efectos de este sencillo ejercicio, ¿cuál sería una expresión analítica que coincidiera aproximadamente con el perfil de densidad radial de la Vía Láctea, proyectado sobre su plano ecuatorial?

El ejemplo más simple del trabajo de los astrónomos es el perfil de densidad radial de una esfera isotérmica única (SIS). Se llama así porque es esféricamente simétrico (y, por lo tanto, aplicable a un plano 2D para sus propósitos) y todos los objetos orbitan con la misma velocidad (y por lo tanto tienen la misma "temperatura", por lo tanto, isotérmicos). El perfil de densidad toma la forma:

$$\rho(r) = \frac{v^2}{4\pi Gr^2}$$

dónde$v$es la velocidad de rotación. Tenga en cuenta que puede ver otras formulaciones que usan$\sigma_v$en vez de$v$. En este caso, están utilizando la dispersión de velocidad , que es ligeramente diferente a la velocidad de rotación.

Se han encontrado otros perfiles de densidad más realistas ejecutando simulaciones del Universo y haciendo coincidir ecuaciones funcionales con los perfiles de densidad de las galaxias resultantes. Tales resultados populares son el perfil NFW y el perfil Einasto .

El perfil NFW es una función de dos parámetros, dada por

$$\rho(r) = \frac{\rho_0}{\frac{r}{R_S}\Big(1+\frac{r}{R_S}\Big)^2}$$

dónde$\rho_0$y$R_S$y dos, parámetros dependientes del halo.

El perfil de Einasto es nuevamente un modelo de dos parámetros dado por

$$\rho(r) \propto \exp(-Ar^\alpha)$$

dónde$A$y$\alpha$son parámetros configurables.

Para distribuciones esféricamente simétricas, el teorema de la capa de Newton permite tratar toda la masa dentro de una esfera definida por el radio de una órbita como si estuviera en el centro e ignorar toda la masa en la capa fuera de ese radio. ¿Hay algo parecido a esto para una distribución radial dentro de un plano?

El teorema de Shell para la gravedad no se extiende a un anillo 2D. Sin embargo, diré que cuando se habla de las órbitas de las estrellas en las galaxias, la masa de las estrellas fuera de la órbita de una estrella generalmente se considera insignificante. La razón principal de esto es que es la Materia Oscura la que comprende la mayor parte de la masa de una galaxia y la que más contribuye a definir la órbita de una estrella en una galaxia. A menudo se supone que el halo de materia oscura es esféricamente simétrico, en cuyo caso se aplica el teorema de la capa de Newton y la masa que le preocupa al determinar la órbita de una estrella es la masa del interior del halo de materia oscura en la órbita de la estrella.

@Rob Jeffries mencionó que "Obtienes la distribución de densidad al observar los datos de velocidad". También creo que esto es lo que está buscando, así que le daré algunos detalles de cálculo.

Suponiendo simetría esférica y movimiento circular, la gravedad es igual al movimiento circular como

$$\alpha \frac{GMm}{R^2} = \frac{mv^2}{R}$$ dónde $G$es constante gravitacional, $M$es la masa encerrada a la distancia radial $R$, $v$es la velocidad tangencial (no radial), $m$es una masa de prueba, y $\alpha$es una constante para el potencial efectivo, que depende de la forma supuesta del potencial. Entonces, podemos expresar la masa $M$como el perfil de densidad $\rho$. Con la simetría esférica, el perfil $\rho \propto M R^{-3}$. Por lo tanto, $$\alpha' G \rho R^2 = v^2 .$$

Dado que por observación podemos construir la curva de rotación que es$v = f(R)$, el perfil de densidad es entonces una función que depende únicamente de$R$:$\rho = g(R)$, es decir, la distribución de masa radial.

Algunas notas incluyen i) la masa$M$incluye materia oscura; ii)$v$es la velocidad tangencial, no la velocidad radial como se presenta en la figura que mencionaste.