¿Existe algún software gratuito que pueda corregir las manchas, etc., causadas por el polvo dentro de la cámara?

Dependiendo del modelo de cámara, algunas tienen una función de "Datos de eliminación de polvo", mediante la cual toma una foto de una pared blanca en blanco y el software (no recuerdo si está en la cámara o si tiene que usar un software externo como DPP ) básicamente mapea las 'manchas' como se ven en la foto de la pared blanca sobre la parte superior de la imagen y realiza los ajustes en esas áreas.

Nunca he tenido necesidad de usarlo yo mismo, pero es muy inteligente en teoría....

Eso es mucho polvo.
Las manchas son tan extensas y feas que cualquier software tendrá dificultades para crear una buena imagen a partir de ellas.
El viejo dicho es que "No se puede hacer un bolso de seda con la oreja de una cerda" y, a menos que estos sean mucho peores que los reales, esto parece haber llegado a la etapa de la oreja de la cerda. Parece necesario un intento serio de encontrar una solución de bajo costo.

Entonces, lo siguiente se trata de reducir el efecto, no en el procesamiento posterior:

Obtendrá más visibilidad puntual en aperturas más altas.
Cualquier cosa que pueda hacer para mantener la apertura grande (= números f pequeños) mejorará el resultado.
Esto se debe a que, si el polvo está cerca del sensor, se desenfocará activamente y las aperturas grandes aumentan este efecto.

El C1035 tiene ISO variable en un amplio rango.
Intente tomar fotos con el ISO más bajo aceptable y vea si hace una diferencia visible.
Un ISO bajo significa que la cámara necesita más luz y tendrá una apertura y una velocidad de obturación más bajas.

Desventaja : en condiciones de poca luz, esto conducirá a bajas velocidades de obturación y es posible que se vea borroso que de otro modo no tendría. Las aperturas grandes brindan una profundidad de campo reducida, por lo que el enfoque es más crítico, pero en muchos casos con un sensor pequeño, eso no será un gran problema. Pruébalo y verás.

Pasará por aquí una sola vez, o tal vez unas cuantas veces en su caso, siendo más viajero que la mayoría. Dentro de unos años, sus fotos pueden proporcionar el vínculo principal con los recuerdos de su pasado. Gastar el mínimo necesario que se requiere para que las fotos sean un registro llevadero de los hechos es una inversión en tu futuro. ¿En qué país te encuentras actualmente? Dependiendo de dónde se encuentre, es posible que pueda obtener una buena cámara usada que haga un mejor trabajo en general que la polvorienta Benq por quizás $ 50. El Benq es de 10 mp. Una buena cámara de 4 mp proporcionará un registro muy adecuado en la mayoría de los casos. Invertir en otra cámara puede ser una buena idea.

Es posible que se sorprenda de lo poco que cobraría un reparador comprensivo por limpiar su sensor. Si puede acceder a la superficie, entonces un soplador puede ayudar. El cepillado suave con una toallita limpia para lentes también puede ayudar. Estaría personalmente preparado para intentar usar, por ejemplo, papel higiénico suave unas pocas vueltas dentro del rollo para asegurarme de que no tenga polvo. Esto está lejos de no tener pelusa, pero aún se puede usar en condiciones extremas. La gente vende pantallas LCD de repuesto para el C1035 en Internet. Pueden estar preparados para proporcionar instrucciones de desmontaje de forma gratuita que una persona competente puede seguir. Una noche de juego cuidadoso en el comedor de un albergue puede ser todo lo que se requiere.

Sugerencia de todo cuidado y ninguna responsabilidad: personalmente intentaría usar una aspiradora y mucho cuidado para aspirar aire a través de la cámara, con el debido cuidado para evitar que se ejerza una succión completa. Con el cuidado adecuado, esto conlleva un riesgo mínimo de daño y una probabilidad moderada de éxito. Abriría la lente por completo, quitaría la batería y aplicaría succión cuidadosa alrededor de la punta de la lente y la caja de la batería. Coloque los dedos sobre el extremo de la manguera para evitar que se enganche y tenga cuidado de que la cámara nunca se tire con fuerza contra la manguera.

El complemento DustCleaner GIMP puede hacer lo que quieras. nunca lo he probado

También hay un complemento de eliminación de polvo mucho más antiguo , pero parece que está más destinado a las fotos escaneadas que a la fotografía digital. De nuevo, nunca lo he usado.

Y como @Mike mencionó en su respuesta, muchas cámaras tienen capacidades de datos de eliminación de polvo, pero que yo sepa (al menos con Canon) requieren soporte en la cámara y el uso de software propietario del proveedor de la cámara.

Sería maravilloso (y sospecho que no es terriblemente difícil, pero no estoy seguro) si alguien pudiera crear una herramienta similar para GIMP u otro programa de terceros, que permitiera usar un marco de una pared blanca/negra como filtro. para eliminar los datos de polvo de un cuadro normal.