Estante horizontal de bloques revisado, también conocido como si estuviera sobre lava, ¿en qué bloque elegirías pararte?

Los bloques son una distracción. Puede tomar un atajo intuitivo para resolver el problema.

Reemplacemos este problema

Con este

De cualquier manera, el peso total es$N \cdot W_{block} = W_{board}$. La fuerza de fricción hacia arriba en cada extremo debe ser$W_{board}/2$.

Ahora estás agregado al tablero. Si estás en el centro, el peso en cada extremo es$(W_{board} + W_{you})/2$.

Si está cerca del extremo izquierdo, las fuerzas de fricción deben ser aproximadamente$F_{left} = W_{board}/2 + W_{you}$y$F_{right} = W_{board}/2$.$F_{left}$es más grande que antes. Por lo tanto, es más probable que esta configuración falle. Pararse en el centro es más seguro.

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Hasta ahora, todo bien. Pero si quiere crédito por un problema de tarea sobre diagramas de cuerpo libre, necesitará usar diagramas de cuerpo libre para justificar su intuición.

Las respuestas anteriores han demostrado que la fuerza de fricción hacia arriba debe ser lo suficientemente fuerte como para sostener el peso de los bloques. Los bloques exteriores deben sostener los bloques interiores. Entonces, los bloques más externos tienen las fuerzas de fricción más altas.

Aquí hay un diagrama que muestra las fuerzas en cada bloque cuando estás en el centro. Tenga en cuenta que las fuerzas hacia arriba en el bloque central son lo suficientemente grandes como para contrarrestar$W_{block} + W_{you}$.

No quiero resolver un problema de tarea por completo. ¿Puedes ver cómo cambiaría si estuvieras centrado sobre el bloque izquierdo?

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Editar: abordar los pares y la intuición de que el centro es el más débil.

La intuición de que el centro es el más débil es perfectamente razonable. Si colocara una tabla sobre un espacio, el centro sería el más débil. Pero esa es una situación diferente a esta.

Una tabla se rompería si la fuerza se hiciera demasiado grande. Podemos entender esto en términos de torques. Considere la tabla como dos medias tablas fuertemente unidas entre sí. Cada mitad no gira si el par total sobre ella es$0$. Suponemos que los extremos están lo suficientemente bien apoyados como para que no se muevan. Consulte Derribo de un cilindro sobre un bloque para obtener más información al respecto.

Esto muestra las fuerzas en la mitad de la tabla izquierda.

La fuerza azul es el peso de la media tabla. La fuerza negra es la reacción del soporte que sostiene la mitad del peso de la tabla. Si la otra mitad de la tabla no estuviera presente, este par rotaría la mitad izquierda en el sentido de las agujas del reloj.

Pero está presente. La parte superior de la mitad izquierda no puede girar sin comprimirse tanto a sí misma como a la parte superior de la mitad derecha. Las dos mitades se presionan fuertemente una contra la otra. La fuerza roja superior es la fuerza que la mitad derecha ejerce sobre la izquierda.

El fondo está bajo tensión. Las dos mitades tiran una de la otra. La fuerza roja inferior muestra que la derecha tira de la izquierda.

La tabla se rompe si las fuerzas rojas son más fuertes que las fuerzas internas que mantienen unidas a las moléculas.

Este diagrama es una idealización. Las fuerzas rojas realmente se distribuirían a través del interior de la tabla, al igual que el peso es realmente la suma de los pesos de cada átomo.

Un tablón perfectamente rígido estaría completamente bajo compresión. Una tabla real se hundiría. La cantidad de compresión y tensión dependería de la cantidad de hundimiento. Por ejemplo, una tabla hecha de caramelo o similar estaría completamente bajo tensión y se hundiría en una forma de U profunda.

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Suponga que se para en la mitad de la tabla izquierda. Agrega un torque que el tablón debe resistir.

Si se para cerca del soporte, la mitad izquierda sostiene la mayor parte de su peso. Pero el par es pequeño porque la distancia desde el soporte es pequeña. Maximizas el torque al pararte en el medio del tablón.

Wow, vi que se discutió este problema durante varios días y estaba pensando "¿por qué es tan popular este problema de bloques de la escuela secundaria?", Y nunca me molesté en leerlo con cuidado. Pero cuando finalmente lo hice, creo que el problema es excelente.

Hay dos tipos de inestabilidades que pueden ocurrir en el sistema. El primero es la insuficiencia de la fuerza de fricción para evitar que el puente se deslice hacia abajo (que es lo que la mayoría de la gente consideró aquí). El segundo tipo de inestabilidad es la falla de las fuerzas normales para suministrar el par necesario. Esta inestabilidad no fue considerada por otras personas aquí y de eso se trata principalmente esta respuesta.

Con respecto a la falla de la fuerza de fricción, como muchas personas notaron, la mayor demanda de la fuerza de fricción se encuentra en los bordes, y cuanto más cerca esté la persona de la pared, mayor será la porción del peso de la persona que soportará esa pared, y más fácil. la fricción en esa pared va a fallar. Para evitar este tipo de inestabilidad, es mejor pararse en el medio, para que ambas paredes compartan la misma parte del peso.

En cuanto a la inestabilidad del par, considere un problema muy similar al de los OP. Suponga que el puente consta de solo dos bloques de longitud desigual$l$y$L-l$instalado exactamente como en la imagen:

Este problema es muy similar al problema original con bloques, pero algunos de los cubos están efectivamente "pegados". Incluso si el coeficiente de fricción es arbitrariamente alto, dicho sistema aún puede romperse formando una grieta entre los bloques, y ambos bloques "volteándose hacia abajo", como en la imagen. La estabilidad del sistema original de muchos cubos se puede analizar buscando el punto más débil, es decir, buscando el lugar más fácil para que se forme la grieta en la imagen de dos bloques.

En el sistema de dos bloques, existe un peso máximo del tipo que puede llevar el puente. Podemos encontrar el peso máximo anotando el balance de pares y fuerzas para los dos bloques. El siguiente sistema son las dos ecuaciones de par cero alrededor de las esquinas inferiores de los bloques que empujan contra la pared (izquierda y derecha correspondientemente):

$$\begin{cases} -W\frac{l}{L}\frac{l}{2}+Nd+F_m l-x \omega=0;\\ -W\frac{L-l}{L}\frac{L-l}{2}+Nd-F_m (L-l)=0; \end{cases}$$ Aquí$W$es el peso total del puente,$N$es la fuerza con la que apretamos ambos bloques,$d$es la altura del puente y$x$es la posición desde la derecha donde se encuentra la persona. Resolviendo para$\omega$rendimientos $$\omega=\frac{l}{x}\left[Nd\left(\frac{1}{l}+\frac{1}{L-l}\right)-\frac{W}{2}\right].\quad (1)$$

Para una posición de fisura fija$l$, el peso crítico$\omega$es mayor cuanto menor es$x$es decir, cuanto más lejos de la grieta se encuentra la persona. En el caso de que haya muchos lugares para que aparezca la grieta (como en el caso de los cubos), es más seguro mantenerse alejado de todas las grietas (lo cual va junto con el sentido común). Además, como se puede ver, si$x\rightarrow 0$, el peso máximo irá al infinito, lo cual tiene sentido, ya que la persona no crea ninguna torsión alrededor del punto de pivote en$x=0$.

También podemos notar que si estamos parados sobre una grieta, es decir$x=l$, el peso crítico es

$$\omega=Nd\left(\frac{1}{l}+\frac{1}{L-l}\right)-\frac{W}{2},\quad (2)$$ cual es el mas pequeño para$l=L/2$, y aumenta hacia los bordes. En otras palabras, las grietas cerca de los bordes son más seguras.

interesante _ Vemos de la Ec. (1), a veces la parte derecha de la ecuación puede ser negativa, lo que significa que tenemos que sostener el puente para que no se deshaga. Si el número de cubos es par, la grieta más débil está en el medio, y para$W>8N d/L$el puente se va a desmoronar solo.

Para resumir todo hasta ahora: tenemos una competencia de dos inestabilidades: una es la inestabilidad por fricción, para la cual es más seguro pararse en el medio del puente. Otra inestabilidad es la inestabilidad de torsión, para la cual es más seguro pararse cerca del borde. Determinar cuál de los dos es más importante en el caso general es bastante complicado, porque la respuesta dependerá de la proporción de$N/W$, sobre el coeficiente de fricción$\mu$y sobre el número total de cubos.

En el caso de que el puente sea muy largo,$L\gg d$, está claro que es más seguro pararse cerca del borde, ya que la fuerza normal requerida para mantener el puente estable debido a la inestabilidad del par es$W L/8d$, mientras que la fuerza normal requerida para evitar que el puente se deslice es solo$W/2\mu\ll W L/8d$. En otras palabras, la fuerza de fricción es un problema menor para los puentes largos. Por otro lado, estando exactamente en el borde,$x=0$, nunca es el mejor lugar, ya que el peso crítico debido a la inestabilidad del par es infinito, y la fricción es la principal causa de inestabilidad, lo que significa que uno puede aumentar el peso crítico alejándose un poco del borde.

Pavlo, en la respuesta aceptada, señaló que hay dos formas de que el puente se derrumbe. Una es que se exceda la fricción máxima en una interfaz, la otra es que aparecería una grieta. La parte 1) trata sobre la fricción. En la parte 2) se considera el caso de aparición de grietas.

Parte 1) Colapso por exceder la fricción máxima.

Como se menciona en la pregunta, la fuerza de fricción en el bloque final,$F_3$, es más probable que esté cerca del límite de fricción. En realidad, la viga se doblaría, pero si suponemos que falla solo porque se excedió la fuerza de fricción límite, sucederá así:

Farcher descubrió que$F_3$es$\frac{5W}{2}$. Podemos obtener el mismo resultado haciendo momentos alrededor del punto P.

Sin la persona (de peso$kW$)

$0.5W+1.5W+2.5W+3.5W+4.5W - 5F_3=0$

$F_3 = 2.5W$

Persona de pie en el bloque A

$$0.5W+1.5W+2.5(kW+W)+3.5W+4.5W - 5F_3=0$$

$$F_3 = 2.5W + 0.5kW\tag1$$

Persona de pie en el bloque B

$$0.5W+1.5W+2.5W+3.5(W+kW)+4.5W - 5F_3=0\tag2$$

$$F_3 = 2.5W + 0.7kW$$

Persona de pie en el bloque C

$$0.5W+1.5W+2.5W+3.5W+4.5(W+kW) - 5F_3=0\tag3$$

$$F_3 = 2.5W + 0.9kW$$

$F_3$es el más bajo para el bloque A, por lo que es más seguro pararse en el bloque A.

Solo queda comprobar que$F_1$y$F_2$son inferiores a esto. Cuando en A los dos$F_1$las fuerzas apoyan a la persona y un bloque

$$F_1 = 0.5W+0.5kW$$

y los dos$F_2$las fuerzas apoyan a la persona y tres bloques

$$F_2 = 1.5W+0.5kW$$

ambos son inferiores a$F_3$, por lo que A es más seguro.

Roger Wood señala en una respuesta a esta pregunta que la respuesta depende de la suposición de si el colapso requiere una interfaz para exceder la fricción máxima permitida o dos interfaces para superarla.

Lo anterior asumió que si una interfaz excede la fricción máxima, entonces ocurriría el colapso. En realidad, esto podría suceder ya que habrá cierta compresibilidad o desgaste que provocaría el colapso. Roger señala que si se debe exceder la fricción máxima en una sola interfaz, entonces el bloque central, A, es el más seguro, y si se trata de dos interfaces, entonces no importa dónde se encuentre.

Entonces, en teoría, para bloques incompresibles, la conclusión parece ser que A es más seguro o que no importa dónde se encuentre.

Parte 2) Colapso por agrietamiento.

Ahora se supone que las paredes se pueden empujar hacia atrás lo suficiente como para dejar espacio para que el puente se derrumbe.

A medida que una grieta comienza y crece, la longitud horizontal total del puente aumenta y la gravedad realiza un trabajo para separar más las paredes.

Al principio, como bloque$A$cae una distancia muy pequeña$h$, la longitud horizontal total del puente se convierte en$1+4\cos\theta + 2 \sin\theta$y$\sin\theta = \frac{h}{2}$. Para ángulos pequeños$\cos\theta = 1$, por lo que el aumento de la longitud del puente es$1+4+h-5 = h$. Las paredes son forzadas a separarse y se realiza trabajo contra la fuerza de compresión.$N$, también podría haber una ganancia en energía cinética ,$K.E.$.

Hay una pérdida de energía potencial gravitacional de$(k+1)Wh + 2\times2W\frac{h}{2}$

$$(k+1)Wh+2Wh = Nh + K.E.$$

Puede haber energía de reserva para la energía cinética, es decir, un movimiento hacia abajo si

$$N< 3W + kW\tag4$$

(cuando una persona se para en bloque$A$).

Si comparamos esto con la fórmula de 'colapso por fricción' (1), eso es equivalente a

$$\mu N < 2.5W + 0.5kW\tag5$$

imagina el$N$reduciéndose hasta el colapso del puente. ¿Sería un 'colapso por fricción' o un 'colapso por fisura'? Si$\mu$era$1$podemos ver de (4) y (5) que la condición de colapso de la fisura se cumpliría primero (como$N$reducido), pero si$\mu$era$0.5$sería el colapso por fricción que ocurrió primero.

Para averiguar bajo qué condiciones esperaríamos un 'colapso por fricción' o un 'colapso por fisura' podemos igualar (4) y (5) y hacer$k$el tema.

$k= \frac{2.5 - 3\mu}{\mu-0.5}$

Un gráfico de$k$contra$\mu$es aquí,

https://www.desmos.com/calculator/tbriugxbep

a la izquierda de la línea roja está el colapso por fricción ya la derecha está el colapso por fisura.

Haciendo ecuaciones similares a 4) y 5) para pararse sobre$B$y$C$y encontrando$k$en términos de$\alpha$dónde$\alpha= \frac{W}{N}$

para A: colapso de la fisura si$k>\alpha - 3$, colapso por fricción si$k>2\mu\alpha-5$

para B: colapso de la fisura si$k>\frac{4}{3}\alpha - 3$, colapso por fricción si$k>\frac{10}{7}\mu\alpha-\frac{25}{7}$

para C: colapso de la fisura si$k>\frac{5}{2}\alpha - 5$, colapso por fricción si$k>\frac{10}{9}\mu\alpha-\frac{25}{9}$

Un gráfico de estas 6 líneas está aquí.

https://www.desmos.com/calculator/qnhueum2zv

El coeficiente de fricción se establece en$0.4$y se puede cambiar.

Imagina que aumentamos$k$para una dada$\alpha$. Al mirar hacia arriba desde el requerido$\alpha$sobre el$x$eje, la línea alcanzada primero significa que si$k$se aumentaran a ese valor, el puente de ese color colapsaría de una manera dependiendo de cuál de las dos líneas se cumpliera. Los rojos son para pararse en bloque$A$, los azules son para bloque$B$y los verdes son para bloque$C$.

El color se encontró en último lugar (subiendo desde el$x$eje), muestra qué posición permitiría el mayor valor de$k$antes del colapso.

por bajo$\mu$lo mejor es estar de pie$A$, cuando$\mu$alcanza$0.7$el rojo y el azul son paralelos, pero$A$es mejor. Para$\mu= 0.8$,$A$es mejor si$\alpha<4$, pero$B$es mejor si$\alpha>4$. De$0.9 - 1.2$,$B$es mejor y para$\mu > 1.2$,$C$es mejor.

No debe haber bloqueo preferencial: si el sistema puede soportar un peso extra, no importa dónde se coloque; y si no puede sostenerlo, el sistema se derrumbará a pesar de todo.

Esto se debe a que, dada la tercera ley de Newton, todas las piedras comparten la misma fuerza horizontal y, por lo tanto, la misma fricción estática. La suposición para eso es que todos los materiales son iguales (paredes y piedras) y rígidos.

La única forma en que las fricciones de diferentes bloques diferirían es si tuvieran diferentes posiciones verticales, porque el área de contacto con los vecinos sería diferente. En este caso, la manzana más débil es la que tiene menor superficie de contacto con los vecinos.

Creo que la intuición falla porque está tratando de derivar información de la forma de los puentes colgantes. Sin embargo, esto no es posible en el caso de los bloques.

[ Editar: dejaré esta respuesta por interés, pero aborda una situación diferente en la que los bloques están soportados por una fuerza aplicada a través de dos paredes verticales separadas por una distancia fija. ]

La respuesta depende de la forma de la fuerza de fricción frente a la carga aplicada en cada interfaz:

Las suposiciones son que los bloques son cubos perfectos y solo pueden moverse verticalmente. En cada interfaz entre bloques hay una fuerza de compresión normal dada que es la misma para todas las interfaces y, en consecuencia, una fuerza cortante de fricción máxima dada que puede ser sostenida por cualquier interfaz. Las fuerzas de cizallamiento por fricción reales (y los momentos presentes) son diferentes para cada interfaz. ¡El puente falla solo si la fuerza de corte excede el valor máximo en dos interfaces, en cuyo caso todos los bloques entre las dos interfaces (más cualquiera que esté de pie sobre ellos) caen a su destino en la lava ardiente!

La respuesta depende de la forma de la fuerza de fricción frente a la carga aplicada en cada interfaz. Arriba se muestran dos extremos. En la imagen de la izquierda, la fuerza de fricción desaparece por completo si la fuerza aplicada supera el máximo. En la imagen de la derecha, la fuerza de fricción simplemente deja de aumentar cuando se alcanza el máximo. Los sistemas reales actúan en algún lugar entre estos dos extremos.

En el caso A, los bloques caen tan pronto como la fuerza de corte en una interfaz excede el máximo porque toda la carga se transfiere repentinamente a la segunda interfaz que luego falla de inmediato. Así que pararse en un extremo del puente es una mala idea. La fuerza será máxima en esa interfaz de extremo que fallará y transferirá la carga completa a la interfaz de extremo lejano que también fallará necesariamente.

En el caso B, los bloques caerán cuando las fuerzas cortantes en dos interfaces superen el máximo. Cuando la primera interfaz alcance su máximo, el exceso de carga se transferirá a las otras interfaces. (Los momentos a través de las interfaces se reajustarán según cambien las fuerzas). El sistema no fallará hasta que una segunda interfaz también alcance la carga máxima. La carga total (bloques más persona) no puede exceder el doble de la fuerza de fricción máxima. No importa dónde se encuentre la persona .

Después de siglos de construir viaductos, puentes, iglesias e iglús, volvemos al punto de partida.

Lago de lava de la vida real. El arco que sostiene la estructura se extiende desde el punto más bajo en cada extremo hasta el más alto en el lugar donde te encuentres. No importa lo que eventualmente haga que el puente se derrumbe, el extremo 'largo' irá primero debido a la compresión, porque tiene el ángulo más pequeño entre el arco y la horizontal, o el extremo 'corto' cederá primero, porque es el primero que vence el rozamiento por tener el menor ángulo entre el arco y la superficie de rozamiento. Sin saber cuál será el primero en ceder, si la compresión o la fricción, mantener ambos ángulos de la misma longitud teóricamente te daría la mejor oportunidad de sobrevivir, lo que te deja parado en el medio.

¿Mi consejo? No se pare en estructuras poco confiables sobre lagos de lava.

Esto significaría que el lugar más seguro para pararse es en el bloque del medio.

Editar: Aparentemente, he estado mezclando las cosas, pero eso no cambia la idea principal. Pararse en uno de los bloques finales es una apuesta de cincuenta/cincuenta, mientras que pararse en el medio da el mejor promedio. Si gana la apuesta, sus posibilidades de supervivencia son mejores que en el medio. Sobrevivir en el medio solo es mejor si apuestas mal. Lo que lo hace aún mejor es la posibilidad de caer o sobrevivir, sin importar dónde se encuentre.