¿Está la Luna en una "caída libre" alrededor de la Tierra? [duplicar]

La luna cae libremente hacia la tierra pero, afortunadamente, la velocidad a la que cae a la tierra es casi igual a la velocidad a la que la tierra se curva. En esta respuesta, derivaré la fórmula para la velocidad orbital en la superficie usando geometría pura y luego la generalizaré inteligentemente. Esto establecerá claramente el hecho de que el objeto está cayendo hacia la tierra pero la tierra se está curvando lo suficiente como para que el objeto no golpee la superficie.

Construyendo una intuición

Si dejas caer una pelota desde una altura cercana a la superficie, caerá 5 m hacia la tierra. Si lanzas una pelota horizontalmente, mientras se mueve en dirección horizontal, también caerá 5 m hacia la tierra. Si le das una pequeña velocidad, la pelota volverá a caer al suelo.

En el segundo caso, la pelota recorre una distancia horizontal suficiente para que, cuando caiga verticalmente, la superficie de la tierra se haya curvado lo suficiente como para que no golpee la superficie de la tierra. No hay magia con la aceleración centrípeta, es geometría simple.

Derivación de una fórmula para la velocidad orbital usando geometría pura

En aras de la simplicidad, consideremos lanzar una pelota desde la superficie de la tierra como se muestra en el diagrama en lugar de considerar una luna girando alrededor de la tierra. Sin embargo, tenga en cuenta que la superficie puede ser cualquier círculo alrededor de la tierra. Usaremos esta idea para generalizar la fórmula más adelante.

En la figura anterior, se lanza una pelota con una velocidad$v$de la superficie horizontalmente. La pelota recorre la distancia$x$en la dirección horizontal y cae una distancia$y$en la dirección vertical en un segundo (¿por qué un segundo? podemos tratar$x$y$y$como componentes de la velocidad de la pelota). En la superficie de la tierra, la pelota caería 5 m en el primer segundo.

Algunas observaciones rápidas antes de comenzar:

1. $BC = x$
2. $\angle ACD =$ángulo recto (AD es diámetro)
3. $\angle ACB = \angle CDB$
4. $\triangle ABC$y$\triangle CBD$son triangulos rectangulos
5. $tan(\angle ACB) = \frac{y}{x}$
6. $tan(\angle ACB) = \frac{x}{2R - y}$
7. $2R$es significativamente mayor que$y$

Podría haber hecho uso del cálculo para derivar, pero en realidad no es necesario, ya que complicaría innecesariamente la respuesta.

Para ser honesto, en el límite donde$y$tiende a cero, esto no es una aproximación.

Resolviendo para$x$en términos de las otras variables, se obtiene,

habíamos considerado$y$como la distancia que el objeto recorrería en un segundo. Podemos escribir la misma cantidad en términos de$g$en la superficie.

Sustituyendo$(2)$en$(1)$, obtenemos,

Antes habíamos supuesto que$x$es la distancia recorrida por la pelota en un segundo. Por lo tanto,$x$es la velocidad horizontal.

Si ha estudiado la gravitación, notará inmediatamente que la fórmula anterior da la velocidad orbital de los objetos que orbitan la tierra cerca de la superficie.

Generalizando inteligentemente el resultado anterior

Había evitado derivar una fórmula para un caso general donde el objeto es una distancia$r$de la superficie de la tierra para no alargar la respuesta. Sin embargo, la fórmula anterior se puede generalizar fácilmente.

Nosotros usamos$R$como el radio de la tierra. Bueno, la superficie de la tierra no necesita ser realmente la superficie de la tierra. ¿Hemos utilizado el hecho de que$R$es el radio de la superficie en cualquier lugar que no sea para usar$g$? Todo lo que dijimos fue que la pelota no debería tocar la superficie. La superficie podría haber sido virtual, es decir: cualquier órbita circular. Podemos reformular la oración anterior como si la pelota golpeara la órbita del radio$R$. podemos generalizar$R$como$r$. Nosotros usamos$g$como la aceleración gravitacional en la superficie de la tierra. Podemos generalizarlo para cualquier radio.$r$.

se puede generalizar a

Sustituyendo el$(4)$en$(3)$, obtenemos,

La fórmula anterior da la velocidad orbital para una órbita a una distancia$r$del centro de la tierra.

La luna está cayendo hacia pero "perdiendo" la Tierra. Si no tuviera un movimiento lateral, ciertamente caería y se estrellaría. Así que sí, puedes decir eso.

Esencialmente tienes razón, pero tu redacción está un poco fuera de lugar. Hay una sola fuerza, la gravedad, que tira de la luna en dirección a la tierra. Obviamente, si la luna no se moviera, sería atraída hacia la tierra, tal como la gravedad lo atrae a usted.

Imagina que estás lanzando una pelota horizontalmente. Puedes dividir el movimiento de la pelota en dos partes. Si solo miras el componente vertical, la pelota está en caída libre (como si la hubieras dejado caer). Por otro lado, el componente horizontal del movimiento de la pelota no se ve afectado por la gravedad. Ahora, en algún momento, la pelota tocará el suelo. Pero si sigues aumentando la velocidad inicial con la que lanzas la pelota, en algún punto no habrá suelo (porque la tierra no es plana), por lo que la pelota seguirá en caída libre hacia la tierra, pero la componente horizontal de la la velocidad (que es constante) evitará que golpee el suelo.

Esa es la situación con la luna. Está cayendo libremente hacia la tierra, mientras que su velocidad a lo largo de la órbita no cambia en magnitud y evita que golpee la tierra.

Hay varios escenarios posibles para el movimiento de dos cuerpos en un campo gravitatorio. En términos generales, dependiendo de la velocidad/energía de la bola/luna, se pasa de (1) volver a caer a la tierra a través de (2) orbitar la tierra en una órbita elíptica o circular (esta es la situación para los planetas alrededor del sol y para la luna alrededor de la Tierra) vía (3) trayectoria parabólica (casi el caso del cometa Hale-Bopp) a (4) trayectoria hiperbólica (algunos cometas). En "3" y "4" la "bola" no está en una órbita cerrada.

Sí. La declaración no solo es "verdadera", es una tautología: todos los objetos que no interactúan con otros objetos, excepto a través de la gravedad, están en "caída libre"; esa es la definición.

(Puntería a largo plazo: la luna está interactuando con el viento solar y otra materia interplanetaria/interestelar, así como con la radiación, por lo que, estrictamente hablando, no está en caída libre sino que frena constantemente. Estas interacciones son insignificantes en términos prácticos porque las fuerzas son minúsculos en comparación con la masa de la luna. Además, la tierra está acelerando la luna por medio de la rotación de la tierra; ese efecto es pequeño pero en realidad medible. Es posible que el sol ejerza efectos similares tanto en la tierra como en la luna. Pero nada está estrictamente en caída libre, por lo que el término sería sólo conceptual.)

Sí, está en caída libre hacia la Tierra y eso es lo que permitió a Newton unificar la mecánica terrestre y la celeste, uno de los mayores avances de la ciencia. Lo hizo asumiendo que tanto la Luna como una manzana que cae (supuestamente) caen hacia la Tierra debido a una fuerza gravitacional. Usando su recién descubierta ley de gravitación universal, calculó las fuerzas entre la Tierra y la Luna y la Tierra y la manzana. La relación entre las aceleraciones obtenidas es

la aceleracion$a_m$se obtuvo por la aceleración centrípeta de una órbita circular,

Pero, ¿por qué la Luna no golpea la Tierra? En lugar de un enfoque cinemático, se puede usar un enfoque dinámico para responder a esto. El momento angular de la Luna (con respecto a la Tierra) no se desvanece y debido al hecho de que la fuerza es central, tiene que ser constante en el tiempo. Para golpear la Tierra, el momento angular de la Luna tiene que llegar a cero, pero esto no es posible a menos que haya otra fuerza (además de la atracción de la Tierra) que provoque un par distinto de cero en el satélite.

La luna de la Tierra, Luna, está en caída libre. Más particularmente, está en órbita alrededor del sol, Sol, y es perturbado en su órbita por un planeta cercano, la Tierra.

Aceleración de la gravedad solar a la distancia orbital Tierra/Luna ($1.5\times 10^{11}m$):

($\frac{2\pi R_{orbit}}{3.16 \times 10^7})^2/R_{orbit}$=$0.0059 ms^{-2}$

Aceleración de la gravedad de la Tierra en la superficie de la Tierra:$9.8 ms^{-2}$

Aceleración de la gravedad de la Tierra en la Luna:$0.0028 ms^{-2}$

Parece más apropiado referirse a la Luna como el Sol que orbita alrededor de la Tierra. La tierra es la influencia menos importante.