¿Energía de una carga acelerada?

Si suponemos que las velocidades están muy por debajo de la región relativista, entonces, en ausencia de radiación, la ecuación de movimiento del electrón es simplemente:

$$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{Eq}{m} \tag{1}$$

dónde$E$es la intensidad de campo y$q$y$m$son la carga y la masa del electrón.

Como dice Lawrence, la potencia emitida como radiación viene dada por la ecuación de Larmour :

$$P = \frac{q^2a^2}{6\pi\varepsilon_0c^3} = \frac{q^2}{6\pi\varepsilon_0c^3} \left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2 \tag{2}$$

y dado que el poder es fuerza por velocidad, esto produce una fuerza sobre la carga de$P/v$y por lo tanto una desaceleración de$P/(vm)$. Entonces la ecuación de movimiento incluyendo la radiación es:

$$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{Eq}{m} - \frac{1}{m\frac{dx}{dt}}\frac{q^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2 \tag{3}$$

¡Puaj!

Siéntase libre de intentar una solución, pero por ahora vamos a tener una idea de las cantidades involucradas. Tomemos una intensidad de campo de$10^5$V/m, que es lo más alto que podemos alcanzar sin necesidad de incluir correcciones relativistas. En ese caso la ecuación (1) nos da:

$$a \approx 1.76 \times 10^{16} \,\text{m/s}$$

Introduzca esto en la ecuación (2) y obtenemos:

$$P \approx 1.76 \times 10^{-21} \,\text{W}$$

Recuerde que comenzamos diciendo que estábamos usando una intensidad de campo de$10^5$voltios por metro, por lo que el cambio de energía potencial por metro es$Vq$o sobre$1.6\times 10^{-14}$J. Así que tenemos una diferencia de siete órdenes de magnitud entre la ganancia de energía del electrón por metro y la energía radiada por segundo. Y eso es que ignoramos la energía perdida por la radiación en la mayoría de las circunstancias.

Como nota a pie de página, la radiación de Larmour ciertamente no siempre es despreciable. Después de que todas las transmisiones de radio usan exactamente este fenómeno: la energía radiada por electrón es pequeña, pero afortunadamente hay muchos electrones en una antena de radio. La radiación de Larmour también es la razón por la cual el acelerador LEP no podría hacerse mucho más poderoso que 200GeV: la energía radiada debido al movimiento circular hizo prohibitivamente costoso operar a energías más altas.

La fórmula de Larmor proviene del vector de Poynting

$$\vec S = \frac{c}{4\pi}\vec E\times\vec B$$ El campo eléctrico en un contenido relativista se deriva con el potencial de Lienard-Weichert $$\vec E = q\frac{\hat n - (\vec v/c)}{\gamma^2(1 - \vec v\cdot\hat n)^3r^2} + \frac{q}{c}\frac{\hat n \times((\hat n - (\vec v/c)))\times\vec v_t/c}{\gamma^2(1 - \vec v\cdot\hat n)^3r}$$ con $\vec v_t = d\vec v/dt$y $\vec B = \hat n\times\vec E$. El cálculo del producto cruzado requiere un poco de trabajo, pero el resultado es $$\vec S = \frac{q^2}{4\pi c^3}\frac{(|\vec v_t|^2 - \hat n\cdot\vec v_t)\hat n }{r^2}$$ donde por supuesto $|\vec v_t|^2 = a^2$El vector de Poynting es la tasa de flujo de energía. Esto se puede derivar para calcular la potencia para dar la fórmula de Larmor $$P = \frac{2}{3}\frac{e^2a^2}{c^3}.$$

¿Cómo es que en todos mis cursos de EM... nunca tuve que dar cuenta de esta pérdida de energía en forma de ondas EM?

En los ejemplos simples que se muestran en los cursos introductorios, se desprecia la pérdida de energía de las partículas cargadas que se mueven en un campo externo a través de la radiación, porque la radiación de las ondas EM es un tema difícil e incluso si no se descuida, se puede demostrar su efecto sobre la el movimiento de las partículas es relativamente pequeño.

Si toma un curso más avanzado, como electrodinámica relativista o diseño de antenas/aceleradores de partículas, allí se analiza la pérdida de energía a través de la radiación.

¿Y hay alguna manera de saber/calcular cuánta energía se perdió?

Sí lo hay, si el cuerpo cargado tiene dimensiones distintas de cero (no es un punto), el teorema de Poynting puede interpretarse como el teorema del trabajo y la energía y si el cuerpo está lejos de otros cuerpos (por lo que el efecto de otros cuerpos en el Poynting se puede despreciar el vector), se puede derivar la fórmula de Larmor. La fórmula de Larmor dice que la energía radiada por un cuerpo cargado acelerado por segundo es

$$P = \frac{2}{3}\frac{Kq^2}{c^3}a^2$$

dónde$K = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$,$q$está a cargo del cuerpo y$a$es la magnitud de su aceleración.

Cuando se evalúa la pérdida de energía de electrones en CRT (vieja cámara de vacío de TV grande) o electrones en un microscopio, se obtiene un número muy pequeño en comparación con la energía total de los electrones, por lo que el efecto se ignora la mayor parte del tiempo. Donde no se puede descuidar es en los aceleradores de partículas: los parámetros de movimiento diseñados son tales que la energía perdida de un grupo de partículas (un grupo es una pequeña nube de miles de millones de partículas que se mueven juntas) en una órbita es comparable a la energía que la máquina es capaz de suministrar.