¿En qué momento la materia que cae en un agujero negro afectará su tamaño?

De hecho, como ya sugirieron los comentaristas, para las partículas de prueba , la cuestión de cuándo cruzan el horizonte (y cuándo se 'incorporan a la singularidad') es bastante difícil de definir si deseamos tomar el punto de vista de un observador externo. Sin embargo, su pregunta tiene una respuesta inequívoca (al menos en términos de cálculos de orden de magnitud). La clave es que, por lo general, se supone que dicha 'partícula de prueba' tiene masa cero, mientras que queremos calcular cuándo el agujero negro 'siente' la masa de esta partícula. Para hacer eso, debemos asumir una masa finita de la materia que cae y considerar la reacción inversade esta masa en la métrica. Y así veremos que el punto en el que la masa se incorpora al agujero negro aumentando su radio de horizonte ocurre en un tiempo finito medido por el observador asintótico.

Para simplificar, en lugar de un observador puntual, consideremos la capa esférica (de materia similar al polvo con masa$\delta M$) cayendo en el agujero negro de Schwartzschild (de masa$M$). Esta situación posee simetría esférica, por lo que se aplica el teorema de Birkhoff : tenemos la métrica de Schwarzschild con masa$M$y radio gravitacional$r_g=2 M$ dentro de la cáscara que cae y con masa$M+\delta M$y radio gravitacional$r_g'= r_g + 2 \delta M$ fuera de ella Podríamos encontrar el movimiento del caparazón usando las condiciones de unión apropiadas , pero si por simplicidad asumimos que$\delta M \ll M$entonces el movimiento de esta capa coincidiría con la geodésica radial para la masa no perturbada. Y así, cuando la cáscara tiene el radio$r=r_g'$ocurre en un tiempo finito (denotemoslo$t'$) por el reloj del observador exterior. Ese sería el momento, cuando la materia del caparazón se incorpore por completo al agujero negro: ningún observador fuera del agujero negro podría detectar ningún rastro del caparazón. Y si hubo, digamos, un transmisor que cayó con el caparazón, el último momento en el que la señal podría llegar al exterior es$t'$(por supuesto, dicha señal también debe pasar algún tiempo trepando a una distancia finita del agujero negro)

si la masa$\delta M$está cayendo desde la distancia de varios$r_g$a distancia$r$eso es un poco más que (imperturbable)$r_g$esa caída duraría aproximadamente

$$\Delta t = t - t_0 \approx \frac{r_g}{c} \ln \frac{r_g}{r-r_g},$$ (Las ecuaciones necesarias se pueden encontrar, por ejemplo , aquí , estamos interesados ​​en el caso de un momento angular cero y un término principal que diverge en $r=r_g$). reemplazando con $r$con $r_g'$obtenemos: $$\Delta t \approx \frac{r_g}{c} \ln \frac{M}{\delta M}.$$ Esa es la respuesta (orden de magnitud). El factor frente a él es el tiempo de cruce de luz del radio de Schwarzschild . Vemos que por $\delta M$Comparable con $M$el logaritmo sería bastante pequeño y el tiempo en cuestión sería simplemente 'varios tiempos de cruce de luz'. Pero incluso para relaciones grandes, la función logarítmica hace que el tiempo sea razonablemente pequeño. Por ejemplo, consideremos al astronauta $\delta M\approx 70\,\text{kg}$cayendo en el agujero negro de Sagitario A* . el logaritmo seria $\approx 81$y $r_g/c$es de unos 40 s y $\Delta t\approx 53\,\text{min}$, que es bastante finito desde una perspectiva humana.

La respuesta no cambiaría mucho si incluyéramos en consideración las configuraciones asféricas y el momento angular distinto de cero. Pero en ese caso hay que recordar que esa acumulación asférica tiende a producir radiación gravitacional que perturba el horizonte del agujero negro. Estas perturbaciones (llamadas 'ringing down') decaen exponencialmente con constantes de tiempo sobre el tiempo de cruce de luz del radio de Schwarzschild.

Para una discusión más técnica, se puede ver:

Frolov, V. y Novikov, I. (2012). Física de agujeros negros: conceptos básicos y nuevos desarrollos (Vol. 96). Springer Science & Business Media, libros de Google .