Elementos de la matriz hamiltoniana que involucran operadores de escalera para el estado de spin-1

Estoy leyendo la tesis de doctorado 'Zero-Field Anisotropic Spin Hamiltonians in First-Row Transition Metal Complexes: Theory, Models and Applications' (enlace: https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00608878/document ).

En la página 34, escribe el hamiltoniano de división de campo cero:

$$\hat{H}=\hat{\mathbf{S}} \cdot \bar{D} \cdot \hat{\mathbf{S}}=\left(\begin{array}{ccc} \hat{S}_{x} & \hat{S}_{y} & \hat{S}_{z} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ccc} D_{x x} & D_{x y} & D_{x z} \\ D_{x y} & D_{y y} & D_{y z} \\ D_{x z} & D_{y z} & D_{z z} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} \hat{S}_{x} \\ \hat{S}_{y} \\ \hat{S}_{z} \end{array}\right)$$ Luego dice: " y el$\hat{S}_x$y$\hat{S}_y$los operadores son reemplazados por las combinaciones lineales adecuadas de los$\hat{S}_+$y$\hat{S}_-$operadores. Al aplicar este hamiltoniano sobre la base del espacio modelo (en este caso, todos los$|S,M_S\rangle$componentes del estado fundamental) se construye la matriz de interacción".

En la página 49 da el siguiente ejemplo para un estado spin-1, es decir, para$|S,M_S\rangle=|1,M_S\rangle$:

$$\begin{array}{r|ccc} \hat{H}_{\text {mod}} & |1,-1\rangle & |1,0\rangle & |1,1\rangle \\ \hline\langle 1,-1| & \frac{1}{2}\left(D_{x x}+D_{y y}\right)+D_{z z} & -\frac{\sqrt{2}}{2}\left(D_{x z}+i D_{y z}\right) & \frac{1}{2}\left(D_{x x}-D_{y y}+2 i D_{x y}\right) \\ \langle 1,0| & -\frac{\sqrt{2}}{2}\left(D_{x z}-i D_{y z}\right) & D_{x x}+D_{y y} & \frac{\sqrt{2}}{2}\left(D_{x z}+i D_{y z}\right) \\ \langle 1,1| & \frac{1}{2}\left(D_{x x}-D_{y y}-2 i D_{x y}\right) & \frac{\sqrt{2}}{2}\left(D_{x z}-i D_{y z}\right) & \frac{1}{2}\left(D_{x x}+D_{y y}\right)+D_{z z} \end{array}$$

Ahora mi pregunta es, ¿cómo se convierten los elementos de la matriz en una combinación lineal de los parámetros?$D_{ij}$? Si alguien lo entiende, ¿podría calcular un solo elemento de matriz para mostrar cómo funciona?