Electrostática/ magnetostática: ¿por qué es ∫all spacedr⃗ ∇⋅(A⃗ ×B⃗ )∫all spacedr→∇⋅(A→×B→)\int_\text{all space} d\vec r \; \nabla \cdot(\vec A \times \vec B) igual a 0?

Energía de campos estáticos

Los dos primeros términos,

$$\int_{\text{all space}} \mathrm{d}\vec r \; \nabla \cdot \left(\vec A \times \vec B\right)$$ y $$\int_{\text{all space}} \mathrm{d}\vec r \; \nabla \cdot \left(\phi \vec E \right)$$ convertirse en integrales de superficie de $\vec A\times \vec B$y $\phi \vec E$, respectivamente, por el teorema de Stoke. Puede, mediante la conversión de las ecuaciones estáticas de movimiento para $E$y $B$en coordenadas esféricas, vea que las funciones de Green que resultan de estas ecuaciones mueren como $\frac{1}{r^2}$, por lo que los productos en los términos anteriores deben morir al menos como $\frac{1}{r^3}$como $r\to\infty$. Al realizar la integral de superficie, tenemos un término de área $4\pi R^2$lo que deja un protagonismo $\frac{1}{R}$dependencia en el integrando, que se desvanece como $R \to \infty$.

El cálculo está esbozado en Wikipedia aquí .

Una nota sobre las cargas puntuales

(Electrodinámica clásica de Jackson, pág. 40). Si conecta el campo eléctrico debido a una carga puntual en

$$W=\frac{\epsilon_0}{2} \int \mathrm{d}V \vec E^2 \,,$$ obtienes un integrando que se comporta como $\tfrac{1}{r^4} 4\pi r^2 \, \mathrm{d}r ~ \tfrac{1}{r^2}{\mathrm{d}r}$. Por lo tanto, la integral diverge en el $r=0$límite, lo que refleja el hecho de que la energía de la configuración de campo de una carga puntual diverge. De manera similar, para el campo eléctrico debido a dos cargas puntuales separadas, obtenemos dos términos de "autoenergía" divergentes y un tercer término que es la energía potencial familiar de las cargas puntuales. Por lo tanto, tiene sentido descartar estos términos de energía propia, ya que solo aportan una cantidad fija que no varía con las posiciones de las cargas.

Con suerte, Lionel ampliará su respuesta porque se ve elegante, pero no puedo hacer que funcione por completo. Mientras tanto, aquí hay un enfoque de puño de jamón:

De la identidad estándar$\nabla \cdot(\vec A \times \vec B)= \vec{B}\cdot (\nabla \times \vec{A}) - \vec{A}\cdot (\nabla \times \vec{B})$y por la ley de Faraday para expandir$\nabla \times \vec{B}$en la derecha obtenemos:

$$\mu_0^{-1} \nabla \cdot \left(\vec A \times \vec B \right)= \mu^{-1} {\left|\vec{B} \right|}^2 - \vec{A}\cdot\vec{J} - \epsilon_0 \vec{A}\cdot\partial_t \vec{A} \tag{1}$$

En expansión$\epsilon_0\,\nabla\cdot(\phi\,\vec{E}) = -\epsilon_0 \nabla\phi\cdot{E} + \epsilon_0 \phi \nabla\cdot\vec{E}$y usando la ley de Gauss para la electricidad así como$\vec{E} = -\nabla \phi - \partial_t \vec{E}$obtenemos:

$$\epsilon_0 \nabla\cdot \left(\phi \vec{E} \right) = -\epsilon_0 \left|\vec{E}\right|^2 + \phi\,\rho + \epsilon_0 \vec{E}\cdot\partial_t\vec{A} \tag{2}$$

Aplicando el teorema de la divergencia a un gran volumen esférico$V$encerrando toda la corriente y la carga al lado izquierdo de ambos$\left(1\right)$y$\left(2\right)$obtendrás integrales de superficie$\oint_{\partial V}\hat{n} \cdot \left(\vec{A}\times\vec{B} \right)\, {\rm d}S$y$\oint_{\partial V}\hat{n}\cdot \left( \phi \vec{E} \right)\, {\rm d}S$. Como en los comentarios, debe asumir el comportamiento de descomposición de$\vec{E}$,$\phi$,$\vec{B}$y$\vec{A}$sus dependencias asintóticas de sus magnitudes en el radio$R$de la esfera grande para condiciones estáticas son como máximo$R^{-1}$por$\phi$y$\vec{A}$y como mucho$R^{-2}$por$\vec{E}$y$\vec{B}$(en general con problemas dinámicos con la radiación, todos disminuyen como$R^{-1}$). Entonces, en el caso estático , las integrales de superficie variarán como$R^{-1}$, por lo tanto, desaparecen a medida que la esfera crece lo suficiente como para encerrar todo el espacio. Al colocar los términos variables en el tiempo en el lado derecho de$\left(1\right)$y$\left(2\right)$(para condiciones estáticas), obtendrá el resultado que necesita.

Como en los comentarios, hay formas más fáciles y más generales de estudiar los flujos de energía en el campo electromagnético. En medio de mi respuesta a la pregunta de Physics SE "¿Cómo se pueden usar los imanes para recoger piezas de metal cuando la fuerza de un campo magnético no funciona?" Muestro el método estándar como en, por ejemplo , Griffiths o el horror literario de las junglas de símbolos de Jackson, "Electrodinámica clásica" (asegúrese de llevar un machete bien afilado para cortar todas las ecuaciones).

La mejor exposición que conozco está en el Capítulo 27 del segundo volumen de las Conferencias Feynman sobre Física: el capítulo llamado "Energía de campo y cantidad de movimiento de campo". Feynman es matemáticamente tan riguroso como Jackson (probablemente mejor) y estudia la física con más cuidado: discute los temas a menudo pasados ​​​​por alto de la ambigüedad en la definición del campo de energía y el flujo, así como la localidad de los flujos de energía. Sin embargo, el método en su pregunta es interesante: no lo he visto antes y permite dividir el$\frac{\epsilon}{2} \left| \vec{E}^2 \right|$y$\frac{\mu}{2} \left|\vec{H}^2 \right|$bits de la densidad de energía para estudiar la covariante de Lorentz$\left| \vec{E} \right|^2 - c^2 \left|\vec{B} \right|^2$.

Espero que todo esto ayude.