El mecanismo de cambio de Goos Hanchen

La mejor manera de comprender este cambio de fase es resolver y estudiar las soluciones de la ecuación de Helmholtz cerca del límite entre dos medios dieléctricos. No es necesario que resuelva las ecuaciones de Maxwell completas: la suposición de que el campo de luz se puede modelar mediante un campo escalar (aproximadamente igual a una componente transversal del campo eléctrico) en lugar de la$(\vec{E},\vec{H})$vectores se conoce como teoría de difracción escalar y se justifica en los capítulos 1 y 8 de Born and Wolf, "Principles of Optics".

Primero una explicación intuitiva. Cuando ocurre la reflexión interna total, la interfase no da la vuelta bruscamente al campo, sino que penetra una cierta distancia más allá de la interfase como un campo evanescente . El fenómeno es en realidad totalmente análogo al tunelamiento cuántico por un primer campo de partículas cuantificado descrito, por ejemplo, porla ecuación de Schrödinger o Dirac en regiones que son, por estar a un potencial más alto que la energía total de la partícula, clásicamente "prohibidas" a la partícula. De hecho, si tiene un sándwich de material de índice de refracción más bajo entre dos materiales de índice más alto, de modo que una onda entrante se "refleja totalmente internamente" desde la primera interfaz de índice alto a índice más bajo, entonces parte de la luz hace un túnel a través del sándwich y de nuevo se propaga libremente ( es decir, de forma no evanescente) cuando atraviesa la capa de bajo índice de refracción. La potencia transmitida a través de la capa disminuye exponencialmente con el grosor de la capa, como ocurre con la tunelización cuántica análoga a través de problemas de barrera de potencial alto pero delgado.

Entonces, dado que el campo penetra cierta distancia en el medio de índice de refracción más bajo, la interfaz "efectiva" en realidad se encuentra a una pequeña distancia en el medio de índice de refracción más bajo. El cambio de fase de Goos-Hänchen es el retraso de fase que surge de este corto viaje hacia y desde el medio de índice más bajo.

Ahora para algunos detalles. Dejar

$$\psi_i = \exp(i\,n_i \vec{k} \cdot \vec{r}) = \exp(i\,n_i(k_x x + k_y y))$$

Sea el campo incidente con el plano de polarización en el$x-y$avion con el$x$siendo el eje la interfaz y$n_i$el índice de refracción para$y>0$. El punto es ahora que el límite ve una variación de campo escalar de$\exp(i\,n_i\,k_x\, x)$tal que$n_i\,k_x > n_t\,k$dónde$k = 2\pi/\lambda = \sqrt{k_x^2+k_y^2}$es el número de onda del espacio libre del campo. Entonces, para asegurar la continuidad del campo escalar a través del límite, el$x$-componente del vector de onda en el lado inferior de este límite también debe ser$n_i\,k_x$. Entonces, ¿cuál es el$y$-componente del vector de onda en el medio inferior. Tiene que ser$k_y^\prime$dónde$\sqrt{{k_y^\prime}^2 + (n_i k_x/n_t)^2} = k^2$para cumplir la ecuación de Helmholtz$(\nabla^2 +k^2 n_t^2)\psi = 0$en el medio bajo. Por lo tanto,$k_y^\prime = \pm \sqrt{k^2-(n_i k_x/n_t)^2}$que es imaginario a fuerza de la condición de reflexión interna total$n_i\, k_x>n_t\,k$. Ahora la solución$k_y = - \sqrt{k^2-(n_i k_x/n_t)^2}$no es físico, ya que la magnitud del campo aumentaría exponencialmente con la profundidad de penetración en el medio inferior. Entonces, en el medio inferior, hay un campo de la forma:

$$\psi_{t,1}(x,y) = \exp(-\sqrt{(n_i\, k_x)^2 - (n_t\,k)^2}\,y + i\,n_i\,k_x\,x)$$

Campos que disminuyen exponencialmente con la distancia en un medio como$\psi_{t,1}$se conocen como campos evanescentes ( evanescere es el latín clásico para "desaparecer"). En un análisis de campo vectorial más completo realizado mediante la resolución completa de las ecuaciones de Maxwell, se puede calcular el vector de Poynting y mostrar que dichos campos no llevan potencia óptica con ellos . En cambio, son como almacenes de energía inductivos y capacitivos; por supuesto, tienen una densidad de energía, pero se desplaza de un lado a otro entre regiones vecinas en el medio, por lo que el flujo neto de energía a través de cualquier superficie durante todo un período es nulo.

También está el campo reflejado:

$$\psi_r(x,y) = \gamma_r \exp(i\,n_i \vec{k}_r \cdot \vec{r}) = \gamma_r\,\exp(i\,n_i(k_x x - k_y y))$$

dónde$\gamma_r$es un coeficiente de reflexión aún por encontrar. Para mantener la continuidad del campo escalar en el límite, este campo también tiene un campo evanescente correspondiente$\psi_{t,2}(x,y) = \gamma_r \psi_{t,1}(x,y)$. ¿Cómo encontramos$\gamma_r$; en la teoría de campos escalares se elige hacer que la derivada normal a la interfaz del campo escalar sea continua a través de la interfaz. Entonces tenemos:

$$(1+\gamma_r) \left.\partial_y \psi_t(x,y)\right|_{y=0} = \left.\partial_y\left(\gamma_r\,\exp(i\,n_i(k_x x - k_y y)) + \exp(i\,n_i(k_x x + k_y y))\right)\right|_{y=0}$$

de modo que:

$$-\frac{1+\gamma_r}{1-\gamma_r} = -i\,g$$

dónde

$$g=\frac{n_i\,k_y}{\sqrt{(n_i k_x)^2 - (n_t k)^2}}$$

y$\gamma_r$es complejo; al invertir la relación bilineal entre$\gamma_r$y$g$encontramos eso$\gamma_r$es el número complejo de magnitud unitaria:

$$\gamma_r = -\frac{1 + i\,g}{1-i\,g}$$

es decir, a un retraso de fase de:

$$\phi_{GH}=-2\arctan\left(\frac{1}{g}\right) = -2\arctan\left(\frac{\sqrt{(n_i k_x)^2 - (n_t k)^2}}{n_i\,k_y}\right)$$

por lo que su fase representa el cambio de Goos-Hänchen, una especie de penetración de radianes "promedio" en el medio de índice más bajo por parte del campo.