Al calcular el rendimiento de la aeronave a diferentes altitudes, dos variables útiles son la relación de densidad del aire (dr) y la temperatura (T). El uso de una relación es útil porque puede volver a calcular valores, como la presión dinámica (Q), simplemente multiplicando el valor del nivel del sello por la relación. E independientemente de las unidades que esté utilizando para representar la densidad del aire, puede calcular ese valor multiplicando el valor del nivel del mar de esa unidad por la relación.
Las tablas de Atmósfera Estándar Internacional (ISA) contienen valores estándar para estas variables a diferentes alturas (h), expresadas tanto en metros como en pies. Estas tablas han sido adoptadas por la Organización de Aviación Civil Internacional (OACI) y se pueden encontrar en el Doc 7488/3 de la OACI. La atmósfera estándar de EE. UU. es esencialmente idéntica.
¿Hay ecuaciones simples que pueda usar en una hoja de cálculo de Excel para calcular la relación de densidad del aire y la temperatura en unidades SI y unidades estadounidenses que coincidan con las tablas ISA?
Sí, hay ecuaciones que pueden proporcionarle valores que concuerdan con los valores de las tablas ISA hasta la centésima parte más cercana (cinco dígitos), utilizando las altitudes geopotenciales.
Se aplican diferentes ecuaciones a la troposfera, que se extiende desde el nivel del mar hasta los 11 000 metros (36 089 pies redondeados), la tropopausa, que se extiende hasta los 20 000 metros (65 617 pies redondeados) y la porción de la estratosfera hasta los 30 000 metros (98 425 pies redondeados). ). Esto está muy por encima de la altitud a la que las alas pierden eficacia.
Dado que la relación de presión está relacionada con la relación de densidad y la relación de temperatura y dado que la relación de temperatura se calcula fácilmente, estoy agregando cálculos para la relación de temperatura y la relación de presión.
Las ecuaciones se describen utilizando operadores de Excel, como * para multiplicación y ^ para exponenciación, y funciones de Excel, como EXP para e elevado a la potencia especificada. Las unidades se describen en notaciones estándar, como ft por pie, m por metro, s por segundo y kg por kilogramo. Las notaciones no usan superíndices, por lo que los metros cuadrados son m2, etc. Estoy usando P para presión, p para densidad, Tr para relación de temperatura, pr para relación de densidad, Pr para relación de presión y L para tasa de caída.
1. TEMPERATURA Y RELACIÓN DE TEMPERATURA
Las ecuaciones para calcular la temperatura estándar son bastante simples y los resultados concuerdan exactamente con las tablas. La relación de temperatura se puede calcular calculando la temperatura Kelvin y dividiendo el resultado por 288.15K. Por lo tanto, incluiremos las ecuaciones para calcular T(K) en unidades estadounidenses.
a. Troposfera
En la Troposfera, la ecuación básica es:
T = T0 - L * h
Donde T0 es la temperatura al nivel del mar, L es el gradiente vertical y h es la altura.
En unidades SI, T0 es 15 grados centígrados (15C) o 288,15 grados Kelvin (288,15K), X es 0,0065 y h está en metros. Las ecuaciones son:
T(C) = 15(C) - (0,0065(C) * h(m))
T(K) = 288,15(K) - (0,0065(K) * h(m))
En unidades estadounidenses, T0 es 59 grados Fahrenheit (59F), X es 0,00356616F y h está en pies. La ecuación es:
T(F) = 59(F) - (0.00356616(F) * h(ft))
T(K) = 288.15(K) - (0.0.0019812(K) * h(f))
b. tropopausia
En la Tropopausa, las temperaturas son constantes.
En unidades SI:
T(C) = -56,5C
TK) = 216,65K
En unidades estadounidenses:
T(F) = -69,7F
TK) = 216,65K
C. Estratosfera
En la estratosfera, la temperatura aumenta con la altura. La ecuación básica es:
T = T20 + L * (h - h20)
donde T20 es la temperatura base, L es el gradiente vertical y h20 es la altura base.
En unidades SI, T20 es -56.5C o 216.65K, X es 0.001, h0 es 20000 metros. Las ecuaciones son:
T(C) = -56,5(C) + (0,001(C) * (h(m) - 20000))
T(K) = 216,65(K) + (0,001(K) * (h(m) )) - 20000))
que se puede simplificar a:
T(C) = -76,5(C) + (0,001(C) * h(m))
T(K) = 196,65(K) + (0,001(K) * (h (pies))
En unidades estadounidenses, T20 es -67.7F, X es 0.00054864 y h0 es 65,617 pies. Las ecuaciones son:
T(F) = -69.7F + 0.00054864 *(h(ft) - 65617)
T(K) = 216.65(K) + (0.0003048(K) * (h(m)) - 65617))
que se puede acortar a:
T(F) = -105.7F + 0.00054864 * h(ft)
T(K) = 196.65(K) + (0.0003048(K) * (h(ft))
2. RELACIÓN DE DENSIDAD
Las ecuaciones para calcular la relación de densidad estándar son más complejas, pero los resultados (con mejoras adicionales) concuerdan con las tablas al 0,00001 más cercano.
a. Troposfera
En la troposfera, la forma básica de la ecuación es la misma en unidades SI y US:
pr = a ^ b
donde A es el índice de temperatura (en Kelvin) y el exponente b es igual a 4,2561.
Donde la altura se mide en metros, la ecuación estándar es:
pr = (1 - (0.0065 * h(m) / 288.15)) ^ 4.2561
Puede mejorar los resultados cambiando el exponente de la siguiente manera:
d = (1 - (0.0065 * h(m) / 288.15)) ^ 4.25587971
Cuando la altura se mide en pies, la ecuación estándar es:
pr = (1 - (h(ft) * 0,0019812/288,15)) ^ 4,2561
Puede mejorar los resultados cambiando el exponente de la siguiente manera:
pr = (1 - (h( pies) * 0.0019812/288.15)) ^ 4.255882
b. tropopausia
En la Tropopausa, la ecuación básica es:
pr = dr11 / exp((h - h11) * g / (R * T11)) donde dr11 es la relación de densidad al inicio de la Tropopausa (.297076), h11 es la base altura, g es la aceleración gravitatoria, R es la constante de gas específica para aire seco y T11 es la temperatura base (216.65K). Dado que g, R y T11 son constantes, se pueden combinar en una sola constante (X). La ecuación revisada es:
pr = .297076 / exp(X * (h - h11))
En unidades SI, g es 9,80665 ft.s2, R es 287,05287 m2/s2 y h11 es 11.000 metros. Por lo tanto, X es 0,000157689. La ecuación es:
pr = .297076 / exp(0.000157689 * (h(m) - 20,000))
que se puede acortar a:
pr = .297076 / exp(0.000157689 * h(m) - 1.734579))
En Estados Unidos, g es 32,1740486, R es 3089,8113775 pies2/s2 y h11 es 36 089 pies. Por lo tanto, X es 0,000048063. La ecuación es:
pr = .297076 / exp(0.000048063 * (h(ft) - 36,089))
que se puede acortar a:
pr = .297076 / exp(0.00004806346 * h(ft) - 1.734546))
C. Estratosfera
En la estratosfera, primero debemos calcular la temperatura Kelvin.
En unidades SI, la ecuación es:
T(K) = 196,65(K) + (0,001(K) * (h(m))
En unidades estadounidenses, la ecuación es:
T(K) = 196,65(K) + (0,0003048 (K) * (h (pies))
La ecuación básica para calcular la altitud de densidad es: pr = (P20/(p0 R T(K)*(T(K)/216,65)^34,1632)) donde P20 es la presión del aire base, p0 es la densidad del aire al nivel del mar y R es la constante de gas específica para el aire seco. Dado que estas son constantes, se pueden combinar en un solo valor (X). La ecuación modificada es:
pr = (X / (T(K) * (T(K) / 216,65) ^ 34,1632))
En unidades SI, P20 es 5474,9 N/m2, p0 es 1,225 kg/m3 y R es 287,05287 m2/s2. En unidades estadounidenses, P20 es 114,345664 lb/ft2, p0 es 0,0023769 slgs/ft3 y R es 3089,8113775 ft2/s2. Por lo tanto, en ambos casos, X es 15,569627, lo que significa que podemos usar la misma ecuación tanto para el SI como para los EE. UU.:
pr = (15,569627/(T(K)*(T(K)/216,65)^34,1632))
3. RELACIÓN DE PRESIÓN La ecuación para calcular la relación de presión es:
Pr= Tr*pr.
La ecuación para calcular la relación de temperatura es:
Tr=T(K)/288.15
Hemos incluido ecuaciones para calcular T(K) en unidades SI y US. Una vez que tenga la relación de temperatura, puede usar la relación de densidad y la fórmula anterior para calcular la relación de presión en unidades SI y EE. UU.
RESUMEN
Unidades SI
Troposfera (0 metros a 11.000 metros):
T(C) = 15(C) - (0,0065(C) * h(m))
T(K) = 288,15(K) - (0,0065(K) * h(m) )
pr = (1-(0.0065*h(m)/288.15))^4.25587971
Tropopausa (11.000 metros a 20.000 metros):
T(C) = -56,5C
T(K) = 216,65K
pr = 0,297076/exp(0,000157689*h-1,734579)):
Estratosfera (20.000 metros a 30.000 metros)
T(C) = -76,5(C) + (0,001(C) * h(m))
T(K) = 196,65(K) + (0,001(K) * (h(m) ))
pr = (15.569627/(T(K)*(T(K)/216.65)^34.1632))
Unidades estadounidenses
Troposfera (0 pies a 36 089 pies):
T(F) = 59(F) - (0,00356616(F) * h(ft))
pr = (1-(h(ft)*0,0019812/288,15))^4,255882
Tropopausa (36,089 pies a 65,617 pies):
T(F) = -69.7F
T(K) = 216.65K
pr = .297076/exp(0.00004806346*h(ft)-1.734546))
Estratosfera (65.617 pies a 98.425 pies):
T(F) = -105,7F + 0,00054864 * h(ft)
T(K) = 196,65(K) + (0,0003048(K) * (h(ft))
pr = (15,569627 /(T(K)*(T(K)/216.65)^34.1632))
DOCUMENTOS FUENTE
Aquí hay enlaces a las tablas ISA y los libros de trabajo de Excel que usé para probar estas ecuaciones.