Ecuación de inducción en un marco giratorio

Creo que encontré la respuesta, fue un poco complicado, así que lo estoy publicando: usando la identidad de cálculo vectorial, podemos comenzar expandiendo$\frac{\partial B}{\partial t}$:

$\frac{\partial B}{\partial t}$=$\nabla \times (u' \times B) +\nabla \times ((\Omega \times r)\times B$)

Aquí tenemos que usar$\nabla\times\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)=\mathbf{A}\left(\nabla\cdot\mathbf{B}\right)-\mathbf{B}\left(\nabla\cdot\mathbf{A}\right)+\left(\mathbf{B}\cdot\nabla\right)\mathbf{A}-\left(\mathbf{A}\cdot\nabla\right)\mathbf{B}$

De modo que$\nabla$X (($\Omega$X$r$)X$B$) =$(\Omega \times r)(\nabla \cdot B)-B(\nabla \cdot (\Omega \times r))+(B \cdot \nabla)(\Omega \times r)-((\Omega \times r) \cdot \nabla)(B)$

Usando el hecho de que$\nabla \cdot B=0$y$\nabla \cdot (\Omega \times r)=0$Los dos primeros términos son iguales a cero.

Otro truco vectorial muy útil es:$(B \cdot \nabla)(\Omega \times r)=\Omega \times (B \cdot \nabla)r = \Omega \times B$

Nos quedamos con:$\frac{\partial B}{\partial t}$=$\nabla$X ($u' \times B) +\Omega \times B -((\Omega \times r) \cdot \nabla)(B)$

Aquí$\frac{\partial B}{\partial t}$se toma en el marco estático, necesitamos convertirlo en el marco giratorio:$\frac{\partial B}{\partial t}|_{static}= \frac{DB}{Dt}|_{static} - u_\Omega \cdot \nabla(B)$

para tener en cuenta la advección ya que la velocidad del campo con el marco es$u_\Omega=(\Omega \times r)$

$\frac{DB}{Dt}|_{static}=\frac{DB}{Dt}|_{rotating}+\Omega \times B$

Pero$\frac{DB}{Dt}|_{rotating}$es idéntico a$\frac{\partial B}{\partial t}|_{rotating}$porque el marco se mueve con$u_{\Omega}$ya.

Combinando todo se obtiene:$\nabla \times (u' \times B) +\Omega \times B -((\Omega \times r) \cdot \nabla)(B)=\frac{\partial B}{\partial t}|_{rotating} + \Omega \times B - ((\Omega \times r) \cdot \nabla)(B)$

Después de simplificar -$\frac{\partial B}{\partial t}|_{rotating}=\nabla \times (u' \times B)$....

Ahora, probablemente haya un argumento físico que pueda ahorrarme todos los problemas, pero realmente necesitaba verlo matemáticamente. Creo que lo realmente complicado fue usar la derivada total para poder usar la fórmula que relaciona las derivadas en los diferentes marcos (/!\ esa relación no se cumple para las derivadas parciales)

Consulte ese enlace para obtener más información: http://physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/rotatingEM.pdf