Distribución de Maxwell-Boltzmann (velocidad) como distribución de máxima entropía y su interpretación

Respuesta corta.

Incluir la restricción sobre la expectativa del logaritmo de la velocidad es equivalente a asumir una cuantización uniforme del espacio de fase clásico que, por experiencia, sabemos que es la receta correcta para aplicar MaxEnt a la mecánica estadística clásica.

Detalles.

Jaynes demostró que la entropía diferencial es solo una generalización continua apropiada de la entropía discreta de Shannon si la discretización que se elige es uniforme. Para una buena discusión de esto, recomendaría leer primero la sección 4b. de las conferencias de Teoría de la Información y Mecánica Estadística de Jaynes, ya que parece ser la fuente original de esta observación. También encontré un buen artículo de Wikipedia discutiendo este punto:

Limitación de la densidad de puntos discretos

Jaynes demostró que si uno quiere generalizar la entropía de la información de una función de masa de probabilidad en un espacio de estado finito a una distribución de probabilidad continua en algún subconjunto de$\mathbb R^n$, como cuando tratamos con el espacio de fase clásico, aunque la entropía diferencial que anotaste parece la generalización obvia que se obtendría al discretizar el espacio y aplicar la versión discreta de la entropía, en realidad asume implícitamente una discretización uniforme, como dividir el espacio en cubos de igual volumen. La expresión más general que permite una discretización en la que la densidad de estados$m(\vec x)$en el espacio no es necesariamente uniforme es

$$H[\rho]=-\int \rho(\vec x) \ln \frac{\rho(\vec x)}{m(\vec x)}\, d^n \vec x.$$ Jaynes admite que en el contexto de la mecánica clásica no está claro qué justifica la elección de un determinado $m$sobre otro, pero argumenta que si, motivados por la mecánica cuántica, usamos el truco habitual de "cuantización" de dividir el espacio de fase en celdas de igual volumen $d^{3}pd^{3}q/h^{3}$, entonces deberíamos elegir correspondientemente $m(\vec x) = const.$. Si hacemos esto y eliminamos una constante general sin importancia que resulta, podemos usar la ingenua expresión de entropía diferencial $$H[\rho] = \int\rho(\vec p, \vec q)\ln \rho(\vec p, \vec q)\, d^{3}\vec pd^{3}\vec q$$ Por otro lado, observe que si desea describir las estadísticas de un sistema clásico utilizando una distribución de probabilidad en el espacio de la magnitud del momento $p = |\vec p|$(o velocidad equivalente), entonces la densidad uniforme de estados en el espacio de cantidad de movimiento se convierte en una densidad creciente de estados en $p$-espacio que depende de la dimensión del espacio Para ver esto, observe que la densidad uniforme de estados en el espacio fase corresponde al hecho de que el número de estados en una región dada es proporcional a su volumen. En $d$-dimensiones, el número de estados con momentos entre $p$y $p+dp$es por lo tanto proporcional a $p^{d-1}\, dp$. De ello se deduce que debemos tomar $$m(p) = (\text{const.})\,p^{d-1}$$ Ignorar las constantes aditivas generales sin importancia que resultan de la normalización de $m$y luego incluyendo $m\sim p^{d-1}$en el cómputo de $H$es equivalente a sumar un término multiplicador de Lagrange en el que el multiplicador de Lagrange tiene valor $d-1$. Para ver esto, observe por un lado que incluyendo $m$y utilizando la versión más general de $H$nos hace encontrar puntos críticos de los siguientes funcionales: $$\begin{align} J[\rho] &= -\int \rho(p)\ln \rho(p)\, dp \\ &\hspace{1cm}+ \lambda_0\left(\int \rho(p)\, dp - 1\right)+ \lambda_1\left(\int \rho(p) p^2\, dp - C\right) + (d-1)\int \rho(p)\ln(p)\, dp \end{align}$$ Por otro lado, usar la entropía diferencial y agregar un término multiplicador de Lagrange nos lleva a encontrar puntos críticos del funcional $$\begin{align} G[\rho] &= -\int \rho(p)\ln \rho(p)\, dp \\ &\hspace{1cm}+ \lambda_0\left(\int \rho(p)\, dp - 1\right)+ \lambda_1\left(\int \rho(p) p^2\, dp - C\right) + \lambda_2\left(\int \rho(p)\ln(p)\, dp - K\right) \end{align}$$ Cuando encontramos puntos críticos de $G$, encontramos eso $$\rho(p) = C e^{\lambda_1 p^2}e^{\lambda_2 \ln p} = C p^{\lambda_2 }e^{\lambda_1 p^2}$$ Si elegimos adecuadamente $K$de modo que $\lambda_2 = d-1$, entonces obtenemos $$\rho(p) = C p^{d-1}e^{\lambda_1 p^2}$$ Para $d=3$obtenemos un $p^2$tener en cuenta $\rho$, que es precisamente lo que tenemos para el $3$Distribución de velocidad de Maxwell -dimensional.