¿Debería la entropía tener unidades y la temperatura en términos de energía? [duplicar]

Estoy mayormente de acuerdo con Jerry y Danu en sus comentarios, en que su definición propuesta tendría mucho sentido y, de hecho, la constante de Boltzmann es la unidad en unidades naturales (Planck).

Una entropía sin unidades tendría un gran atractivo, especialmente dados los estrechos vínculos entre la entropía termodinámica y la entropía de Shannon de la teoría de la información: serían iguales en sus unidades para un sistema termalizado de constituyentes perfectamente no correlacionados (estadísticamente independientes): el especial caso previsto por la Stosszahlansatz de Boltzmann (caos molecular, aunque la propia palabra de Boltzmann significa "hipótesis del número de colisión"). Su entropía se mediría entonces en nats : tendría que usar unidades en las que la constante de Boltzmann fuera$\log 2$para obtener la entropía en bits. Tenga en cuenta, sin embargo, que la entropía termodinámica calculada a partir de distribuciones marginales$N \sum p_j \log p_j$no es en general igual a la entropía de Shannon en estas unidades: uno en general tiene que tener en cuenta las correlaciones entre partículas, lo que disminuye la entropía (porque los estados de partículas predicen parcialmente otros estados de partículas). Ver, para una buena explicación de estas ideas

ET Jaynes, "Entropías de Gibbs vs Boltzmann", Am. J. física. 33, número 5, pp 391-398, 1965 así como muchos otros de sus trabajos en este campo

Sin embargo, hay un último punto a tener en cuenta, y es que la idea de que la temperatura es proporcional a la energía constituyente promedio es, en general, solo aproximadamente cierta. Es cierto para un gas ideal, como saben. Sin embargo, la definición más general de temperatura termodinámica es que la eficiencia de un motor térmico reversible ideal que trabaja entre dos depósitos de calor infinitos a diferentes temperaturas define la relación de estas temperaturas: es:

$$\frac{T_1}{T_2} = 1 - \eta$$

dónde$\eta$es la eficiencia de la máquina térmica,$T_2$la temperatura más alta y la temperatura del depósito del que el motor extrae calor y$T_1$la temperatura más baja del otro depósito en el que el motor vierte el calor residual. Una vez que se define una unidad de temperatura "estándar" ( por ejemplo , algo así como el punto triple del agua), sigue la definición de temperatura completa. Se puede demostrar que esta definición es equivalente a la definición (en sus unidades, con$k=1$:

$$T^{-1} = \partial_U S$$

es decir, la temperatura inversa (a veces curiosamente llamada "beneficio") es cuánto se "termaliza" un sistema dado en respuesta a la adición de calor a su energía interna$U$(cuánto se despierta o "anima" el sistema). Consulte un buen resumen en la sección "Segunda ley de la termodinámica" en la página de Wikipedia para la temperatura .

Así que apliquemos esta definición a un sistema termalizado de osciladores armónicos cuánticos: supongamos que están en posiciones distinguibles. En equilibrio termodinámico, la distribución de Boltzmann para el número de escalera (número de fotones/fonones en un oscilador dado) es:

$$p(n) = \left(e^{\beta\, \hbar\,\omega }-1\right) e^{-\beta\,\hbar\, \omega \, (n+1)}$$

La energía media del oscilador es entonces:

$$\left<E\right> = \frac{\hbar\,\omega}{2}\,\coth\left(\frac{1}{2}\,\beta\,\hbar\,\omega \right)$$

La entropía de Shannon (por oscilador) es entonces:

$$S = -\sum\limits_{n = 0}^\infty p(n) \log p(n) = \frac{\beta\,\hbar\,\omega\,e^{\beta \,\hbar\,\omega}}{e^{\beta\,\hbar\,\omega}-1} - \log \left(e^{\beta\,\hbar\,\omega}-1\right)$$

entonces la temperatura termodinámica viene dada por (observando que la única forma en que cambiamos la energía de este sistema es variando$\beta$):

$$T^{-1} = \partial_{\left<E\right>} S = \frac{\mathrm{d}_\beta S}{\mathrm{d}_\beta \left<E\right>} = \beta$$

pero esta temperatura no es igual a la energía media de las partículas a temperaturas muy bajas; la energía media de las partículas es:

$$\begin{array}{lcl}\left<E\right> &=& \frac{1}{\beta}+\frac{1}{12}\,\beta\,\hbar^2\omega^2-\frac{1}{720}\,\beta^3 \,\hbar^4\,\omega^4+\frac{\beta^5\,\hbar^6\,\omega^6}{30240}+O\left(\beta^7\right) \\ &=& T+\frac{1}{12}\,T^{-1}\,\hbar^2\,\omega^2-\frac{1}{720}\,T^{-3}\,\hbar ^4\, \omega^4+\frac{T^{-5}\,\hbar^6\,\omega^6}{30240}+O\left(T^{-7}\right)\end{array}$$

para que pueda ver que su definición original como la energía media de la partícula se recupera para$T>>\hbar\omega$, la energía del fotón.