Determinación del área porcentual del disco de la luna sombreada con respecto al tiempo

Busqué en línea y encontré fuentes como este documento sobre un simulador de fase lunar, así como este artículo sobre fases lunares.

Me gustaría poder modelar el área del disco lunar que está sombreada con respecto al ángulo de la luna o la hora del mes lunar y no estoy seguro de cómo hacerlo. En esencia, me gustaría poder encontrar una función f(x) donde pueda ingresar un valor como 0 (es decir, 0 días desde el comienzo del mes lunar) y podría obtener un resultado como 0 ya que es luna nueva. Del mismo modo, f (14ish) debería ser luna nueva o fig 5 en la imagen a continuación, por lo que obtendría un valor cercano a 1.

Me centro un poco más en las matemáticas que en los valores reales, así que estoy dispuesto a hacer suposiciones como que la luna y la tierra son esferas perfectas por el bien del modelo.

Sé que hay muchas matemáticas involucradas y tendré que hacer un poco de integración, pero agradecería que alguien pudiera indicarme fuentes para comenzar con esto, ya que los documentos que estoy encontrando son fases lunares de niños. hojas de trabajo o no relacionadas con este tema.