Determinación de las frecuencias de corte del filtro de paso de banda

Question

Determinación de las frecuencias de corte del filtro de paso de banda

filtrar
Física
paso de banda
redes pasivas

eric

Tengo una red RC de la siguiente manera:

esquemático

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Por lo que puedo decir, esto tiene la característica de transferencia:

\begin{aligned} \frac{V_{o tu t}}{V_{i norte}} = \frac{Z_{yo o w mi r}}{Z_{yo o w mi r} + Z_{tu pag pag mi r}} & = \frac{\frac{1}{j ω C_{1} + \frac{1}{R_{1}}}}{(\frac{1}{j ω C_{1} + \frac{1}{R_{1}}}) + (\frac{1}{j ω C_{2}} + R_{2})} \\ = \frac{1}{1 + (\frac{1}{j ω C_{2}} + R_{2}) (j ω C_{1} + \frac{1}{R_{1}})} \\ = \frac{j ω R_{1} C_{2}}{j ω R_{1} C_{2} + (1 + j ω R_{2} C_{2}) (j ω R_{1} C_{1} + 1)} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{Z_{lower}}{Z_{lower} + Z_{upper}} &=\frac{ \frac{1}{j\omega C_1 + \frac{1}{R_1}} }{ \left(\frac{1}{j\omega C_1 + \frac{1}{R_1}}\right) + \left(\frac{1}{j\omega C_2} + R_2 \right) } \\ &=\frac{ 1 }{ 1 + \left(\frac{1}{j\omega C_2} + R_2 \right) \left(j\omega C_1 + \frac{1}{R_1}\right) } \\ &=\frac{ j\omega R_1 C_2 }{ j\omega R_1 C_2 + \left(1 + j\omega R_2C_2 \right) \left(j\omega R_1 C_1 + 1\right) } \end{align}$

¿Tengo razón al llamar a esto un filtro de paso de banda? ¿Cómo encuentro las frecuencias de corte?

O expresado alternativamente, ¿cómo puedo elegir los valores de mi resistencia y condensador dados los cortes deseados?

capitánj2001

Las dos frecuencias de corte se encuentran ajustando la magnitud de la función de transferencia a

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt 2}$ y resolver la ecuación polinomial resultante.

Kint Verbal

Consulte la respuesta completa de baja entropía aquí electronics.stackexchange.com/questions/299231/… La clave es factorizar la expresión de tal manera que la ganancia/polo/cero aparezca claramente ordenada. Como esta es una forma polinomial de segundo orden en el denominador, puede reorganizarla en una forma canónica como se muestra en la respuesta propuesta.

Respuestas (3)

Determinación de las frecuencias de corte del filtro de paso de banda

Las dos frecuencias de corte se encuentran ajustando la magnitud de la función de transferencia a $\frac{1}{\sqrt 2}$ y resolver la ecuación polinomial resultante.
Consulte la respuesta completa de baja entropía aquí electronics.stackexchange.com/questions/299231/… La clave es factorizar la expresión de tal manera que la ganancia/polo/cero aparezca claramente ordenada. Como esta es una forma polinomial de segundo orden en el denominador, puede reorganizarla en una forma canónica como se muestra en la respuesta propuesta.

Andy alias · Answer 1

Si las dos frecuencias de corte están bastante separadas, entonces R2 (o C1) determina en gran medida el punto en el que las frecuencias altas comienzan a atenuarse y C2 (o R1) determina la frecuencia baja por debajo de la cual las frecuencias se atenúan progresivamente. Sí, es un filtro de paso de banda.

Si las dos frecuencias están cerca, se convierte en un filtro de paso de banda pobre y se visualiza mejor usando algo como LTSpice.

Para que esto sea un BPF efectivo, debe considerar la atenuación de la banda media; querrá diseñarlo para que la atenuación de la ganancia de la banda media no sea significativa. Con este fin, está claro que R2 debe ser significativamente más pequeño que R1 o obtendrá una atenuación de banda media que es significativa y generalmente perjudicial. Por esas mismas razones, le gustaría que C2 fuera significativamente más grande que C1. Básicamente, esto le informa que tener las frecuencias superior e inferior bastante cerca le brinda una atenuación de banda media de hasta 6 dB.

En base a eso, claramente desea que las frecuencias superior e inferior estén separadas por al menos una década y el resultado de esto es que puede analizar los dos cortes casi sin ningún efecto de interacción.

¿Qué se considera "bastante lejos"? ¿Una década? ¿Media década?
Ciertamente, una década, pero intente simularlo y verá. Sugiere que querrás R1 >> R2 y C2 >> C1. Si lo hace, la atenuación de la banda media es muy baja; sin embargo, si R1 es similar a R2, la ganancia de la banda media se reduce unos 6 dB, como cabría esperar de un divisor de potencial simple que utiliza dos resistencias iguales. Ídem con las gorras. Es por eso que es bastante inútil tratarlo como un ejercicio matemático porque cuando Fupper y lower están cerrados, el circuito funciona mal.
R2/C1 es una relación bastante sin sentido para comparar con la frecuencia, cuando se mira dimensionalmente
@Eric: quise decir el uso "opcional" de "/": arreglaré la respuesta para aclararla.

Chu · Answer 2

Si $\small R_1C_2\ll R_1C_1+R_2C_2$ entonces las frecuencias de corte serán aproximadamente $\frac{1}{R_1C_1}$ y $\frac{1}{R_2C_2}$

Esto se debe a que el denominador de la TF (en forma de Laplace, ya que esto hace que el polinomio sea más susceptible de inspección que el $j\omega$ formulario) se puede escribir:

s^{2} + \frac{R_{1} C_{1} + R_{2} C_{2} + R_{1} C_{2}}{R_{1} C_{1} R_{2} C_{2}} s + \frac{1}{R_{1} C_{1} R_{2} C_{2}}

$\small s^2+\frac{R_1C_1+R_2C_2+R_1C_2}{R_1C_1R_2C_2}s+\frac{1}{R_1C_1R_2C_2}$ que se factoriza a:

(s + \frac{1}{R_{1} C_{1}}) (s + \frac{1}{R_{2} C_{2}})

$\small \left (s+\frac{1}{R_1C_1}\right)\left(s+\frac{1}{R_2C_2}\right)$

si $\small R_1C_2$ es pequeño en comparación con la suma de los otros dos términos en el numerador del coeficiente s

LvW · Answer 3

Aquí hay otro método, bastante simple, para encontrar las frecuencias de corte de 3db (vea el polinomio s dado por Chu en su respuesta):

1.) A partir del denominador de la función de transferencia de paso de banda, puede derivar fácilmente las expresiones para la frecuencia central de paso de banda wo=SQRT(1/T1T2) con T1=R1C1 y T2=R2C2 .

2.) Lo mismo se aplica al factor de calidad Q=SQRT(T1T2)/(T1+T2+R1C2)

3.) Debido a la definición Q=wo/(w2-w1) y wo=SQRT(w1w2) podemos encontrar dos ecuaciones para las dos frecuencias de corte desconocidas w1 y w2 (Q y wo son valores conocidos).

4.) Tenga en cuenta que la selectividad de este paso de banda es bastante pobre porque el factor de calidad máximo es Q=0.5 (el ancho de banda es el doble de la frecuencia central). El conjunto de valores más común (R1=R2, C1=C2) da un factor de calidad de solo Q=1/3. Tenga en cuenta que para todas las configuraciones de paso de banda RC, el factor de calidad nunca supera Q = 0,5.

Determinación de las frecuencias de corte del filtro de paso de banda

eric

capitánj2001

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Chu

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